Книга: Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

Тензорные сети

Тензорные сети

Для увеличения числа линейно независимых эталонов, не приводящих к прозрачности сети, используется прием перехода к тензорным или многочастичным сетям [75, 86, 93, 293].

В тензорных сетях используются тензорные степени векторов. k-ой тензорной степенью вектора x будем называть тензор x^?k, полученный как тензорное произведение k векторов x.

Поскольку в данной работе тензоры используются только как элементы векторного пространства, далее будем использовать термин вектор вместо тензор. Вектор x^?k является n^k-мерным вектором. Однако пространство L({x^?k}) имеет размерность, не превышающую величину

Теорема. При k<n в множестве {x^?k} линейно независимыми являются

Небольшая модернизация треугольника Паскаля, позволяет легко вычислять эту величину. На рис. 2 приведен «тензорный» треугольник Паскаля. При его построении использованы следующие правила:

1. Первая строка содержит двойку, поскольку при n= 2 в множестве X всего два неколлинеарных вектора.

2. При переходе к новой строке, первый элемент получается добавлением единицы к первому элементу предыдущей строки, второй — как сумма первого и второго элементов предыдущей строки, третий — как сумма второго и третьего элементов и т. д. Последний элемент получается удвоением последнего элемента предыдущей строки.

Рис. 2. “Тензорный” треугольник Паскаля

В табл. 1 приведено сравнение трех оценок информационной емкости тензорных сетей для некоторых значений n и k. Первая оценка — n^k — заведомо завышена, вторая —

Таблица 1.

Как легко видеть из таблицы, уточнение при переходе к оценке r_n,k является весьма существенным. С другой стороны, предельная информационная емкость тензорной сети (число правильно воспроизводимых образов) может существенно превышать число нейронов, например, для 10 нейронов тензорная сеть валентности 8 имеет предельную информационную емкость 511.

Легко показать, что если множество векторов {xⁱ} не содержит противоположно направленных, то размерность пространства L({x^?k}) равна числу векторов в множестве {xⁱ}.

Сеть (2) для случая тензорных сетей имеет вид

а ортогональная тензорная сеть

где r_ij^-1 — элемент матрицы ?^-1({x^?k}).

Рассмотрим, как изменяется степень коррелированности эталонов при переходе к тензорным сетям (9)

Таким образом, при использовании сетей (9) сильно снижается ограничение на степень коррелированности эталонов. Для эталонов, приведенных на рис. 1, данные о степени коррелированности эталонов для нескольких тензорных степеней приведены в табл. 2.

Таблица 2. Степени коррелированности эталонов, приведенных на рис. 1, для различных тензорных степеней.

Анализ данных, приведенных в табл. 2, показывает, что при тензорных степенях 1, 2 и 3 степень коррелированности эталонов не удовлетворяет первому из достаточных условий (

Таким образом, чем выше тензорная степень сети (9), тем слабее становится ограничение на степень коррелированности эталонов. Сеть (10) не чувствительна к степени коррелированности эталонов.

Оглавление книги