Книга: Этюды для программистов

Алгоритм быстрого умножения Тоома—Кука

Исходными данными служат два положительных длинных числа [n, u] и [n, v]; результатом — их произведение [2n, uv]. Используются четыре стека U, V, W и С, в которых при выполнении алгоритма будут храниться длинные числа, и пятый стек, содержащий коды временно приостановленных операций (имеется всего три кода, и для их представления можно воспользоваться малыми целыми числами). Массивы q и r целых чисел имеют индексы от 0 до 10; необходимо выделить память для этих двух массивов и для еще нескольких временных переменных, упомянутых в алгоритме.

1. (Начальная установка.) Сделать все стеки пустыми. Присвоить К значение 1, q₀ и q₁ — значение 16, r₀ и r₁ — значение 4, Q — значение 4 и R — значение 2.

2. (Построение таблицы размеров). Пока К < 10 и q_K?1 + q_K ? n, выполнять следующие вычисления. Изменить К на К + 1, Q — на Q + R; если (R + 1)? ? Q, то изменить R на R + 1; установить q_K равным 2^Q и r_K равным 2^R. Если цикл оканчивается из-за К = 10, то остановиться, выдав сообщение об ошибке — число битов n слишком велико, массивы q и r переполнились. В противном случае присвоить k значение K. Поместить [q_K + q_K?1, v] и за ним [q_K?1 + q_K, u] в стек С (вероятно, потребуется добавить к [n, u] и [n, v] слева нули). Поместить в управляющий стек код стоп.

3. (Главный внешний цикл.) Пока управляющий стек не пуст, выполнять шаги с 4-го по 18-й. Если на этом шаге управляющий стек окажется пустым, то остановиться с сообщением об ошибке; в управляющем стеке должен быть по крайней мере один элемент.

4. (Внутренний цикл разбиения и и v.) Пока к > 1, выполнять шаги с 5-го по 8-й.

5. (Установка параметров разбиения.) Установить k равным k ? 1, s равным q_k, t равным r_k и р равным q_k?1 + q_k.

6. (Разбиение верхнего элемента стека С.) Длинное число [q_k + q_k+1, u] на вершине С следует рассматривать как t + 1 чисел длиной s битов каждое. Разбить [q_k + q_k+1, u] на длинные числа [s, U_t], [s, U_t?1], …, [s, U₁], [s, U₀]. Эти t + 1 чисел являются коэффициентами многочлена степени t, который следует вычислить в точках 0,1, …, 2t ? 1, 2t no правилу Горнера. Для i = 0, 1, …, 2t ? 1, 2t вычислить [р, X_i] по формуле

(…([s, U_t]i + [s, U_t?1])i+ … + [s, U₁])i + [s, U₀]

и сразу поместить [р, X_i] в стек U. Для выполнения умножений можно использовать подпрограмму умножения длинных чисел на короткие; никакой промежуточный или окончательный результат не потребует более p битов. Удалить [q_k + q_k+1, u] из стека С.

7. (Продолжение разбиения.) Выполнить над числом [m, v], находящимся сейчас на вершине стека С, ту же последовательность действий, что на шаге 6; полученные числа [p, Y₀], …, [p, Y_2t] поместить в стек V в порядке получения. Не забудьте удалить вершину стека С.

8. (Заполнение заново стека С.) Попеременно удалять (2t раз) вершины стеков V и U и помещать эти значения в стек С. В результате значения, вычисленные на шагах 6 и 7, будут помещены, чередуясь, в стек С в обратном порядке. После выполнения этого перемешивания верхняя часть стека С, рассматриваемая снизу вверх, будет иметь вид [р, Y_2t], [p, X_2t], …, [р, Y₀], [p, Х₀], на вершине будет [р, Х₀]. Поместить в управляющий стек один код операции интерполировать и 2t кодов операции сохранять и вернуться к шагу 4.

9. (Подготовка к интерполяции.) Присвоить к значение 0. Выбрать два верхних элемента стека С и поместить их в обычные переменные и и v. Оба числа и и v будут состоять из 32 битов. Используя некоторую другую подпрограмму умножения, вычислить [64, w] = [64, uv]. Это умножение можно выполнить аппаратно или с помощью подпрограммы, как вы найдете нужным.

10. (Интерполяция при необходимости.) Выбрать вершину управляющего стека в переменную А. Если значение А есть интерполировать, то выполнить шаги с 11-го по 16-й, в противном случае перейти к шагу 17,

11. (Организация интерполяции.) Поместить [m, w] в стек W (это может быть значение, полученное на шаге 9 или 16). Присвоить s значение q_k, t — значение r_k, р — значение q_k?1 + q_k. Обозначим верхнюю часть стека W, рассматриваемую снизу вверх, как

[2р, Z₀], [2p, Z₁], …, [2р, Z_2t?1], [2p, Z_2t],

последнее из этих значений — на вершине стека.

12. (Внешний цикл деления Z.) Выполнять шаг 13 для i = 1, 2, …, 2t.

13. (Внутренний цикл деления Z.) Присвоить [2p, Z_j] значение ([2р, Z_j] ? [2р, Z_j?1])/i для j=2t, 2t ? 1, …, i + 1, i. Все разности будут положительными, а все деления выполняются нацело, т. е. без остатка.

14. (Внешний цикл умножения Z.) Выполнять шаг 15 для i = 2t ? 1, 2t ? 2, …, 2, 1.

15. (Внутренний цикл умножения Z.) Заменить [2р, Z_j] на [2p, Z_j] ? i[2p, Z_j+1] для j = i, i + 1, …, 2t ? 2, 2t ? 1. Все разности будут положительными, и все результаты поместятся в 2р битов.

16. (Образование нового w и начало нового цикла.) Присвоить значение многочлена

(… ([2р, Z_2t]2s + [2p, Z_2t?1]2s + … + [2p, Z_i]2s + [2p, Z₀]

переменной [2(q_k + q_k+1), w]. Этот шаг можно выполнять, используя только сдвиги и сложения длинных чисел. Заметьте, что используется та же переменная [m, w], что и на шаге 9. Удалить [2р, Z_2t], …, [2p, Z₀] из стека W. Присвоить k значение k + 1 и вернуться к шагу 10.

17. (Проверка окончания.) Если А имеет значение стоп, то в переменной [m, w], уже вычисленной на шаге 9 или 16, находится результат алгоритма. В этом случае окончить работу.

18. (Сохранение значения.) Значением А должен быть код сохранить (если это не так, завершить алгоритм по ошибке). Присвоить k значение k + 1 и поместить [q_k + q_k?1, w] в стек W. Это значение w, только что вычисленное на шаге 9 или 16. Теперь вернуться к шагу 3.

Оглавление книги