Книга: Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

Парадокс дней рождений

Парадокс дней рождений

Допустим, в организации работает 24 человека. Какова вероятность что хотя бы двое отмечают день рождения в один и тот же день? Интуитивно кажется, что эта вероятность весьма мала и будет равна 24/365, но и в этом случае интуиция ошибается. В реальности, мы должны рассматривать количествопар, которые могут образовать данные люди. Это число довольно-таки велико, например, если обозначить 5 человек как ABCDE, то количество возможных пар будет 10 (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE), а для группы из 24 человек возможно 276 пар.

Для точного расчета воспользуемся принципом произведения вероятностей. Вероятность того, что для 2х людей день рождения не совпадет, равна 364/365. Для 3х человек вероятность что все дни не совпадут, равна произведению 364/365 * 363/365, и так далее. Для n-человек формула приведена в Википедии:

(n! — обозначение факториала, n! = 1 * 2* .. * (n - 1) * n)

Нужная нам вероятность обратного события равна обратной величине:

Вывести все значения несложно с помощью программы на Python:

import math
def C(n):
    return 1000 – 1000 * math.factorial(365) / (math.factorial(365 – n) * 365**n)
for n in range(3, 50):
    print("{} - {}%").format(n, 0.1 * C(n))

365! это очень большое число, поэтому здесь использованы целочисленные вычисления языка Python, уже затем значение было переведено в проценты.

В результате получаем следующую таблицу:

Как видно из таблицы, уже при количестве сотрудников 50 человек, хотя бы 1 день рождения почти гарантированно совпадет (вероятность 97%), а для 24 человек получаем вероятность равную 0.538, т. е. более 50%.

Оглавление книги