Книга: Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

3. Число Пи

3. Число Пи

Вобьем в стену гвоздь, привяжем к нему веревку с карандашом, начертим окружность. Как вычислить длину окружности? Сегодня ответ знает каждый школьник — с помощью числа Пи. Число Пи — несомненно, одна из основных констант мироздания, значение которой было известно еще в древности. Оно используется везде, от кройки и шитья до расчетов гармонических колебаний в физике и радиотехнике.

Сегодня достаточно нажать одну кнопку на калькуляторе, чтобы увидеть его значение: Pi = 3,1415926535… Однако, за этими цифрами скрывается многовековая история. Что такое число Пи? Это отношение длины окружности к ее диаметру. То что это константа, не зависящая от самой длины окружности, знали еще в древности. Но чему она равна? Есть ли у этого числа какая-то внутренняя структура, неизвестная закономерность? Узнать это хотели многие. Самый простой и очевидный способ — взять и измерить. Примерно так вероятно и поступали в древности, точность разумеется была невысокой. Еще в древнем Вавилоне значение числа Пи было известно как 25/8. Затем Архимед предложил первый математический метод вычисления числа Пи, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников. Это позволяло вычислять значение не «напрямую», с циркулем и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность. И наконец в 3-м веке нашей эры китайский математик ЛюХуэй придумал первый итерационный алгоритм — алгоритм, в котором число вычисляется не одной формулой, а последовательностью шагов (итераций), где каждая последующая итерация увеличивает точность. С помощью своего метода Лю Хуэй получил Пи с точностью 5 знаков: ? = 3,1416. Дальнейшее увеличение точности заняло сотни лет. Математик из Ирана Джамшидибн Мас‘уд ибн Махмуд Гияс ад-Дин ал-Каши в 15-м веке вычислил число Пи с точностью до 16 знаков, а в 17-м веке голландский математик Лудольф вычислил 32 знака числа Пи. В 19-м веке англичанин Вильям Шенкс, потратив 20 лет, вычислил Пи до 707 знака, однако он так и не узнал, что в 520-м знаке допустил ошибку и все последние годы вычислений оказались напрасны (в итерационных алгоритмах хоть одна ошибка делает все дальнейшие шаги бесполезными).

Что мы знаем о числе Пи сегодня? Действительно, это число весьма интересно:

? Число Пи является иррациональным: оно не может быть выражено с помощью дроби вида m/n. Это было доказано только в 1761 году.

? Число Пи является трансцендентным: оно не является корнем какого-либо уравнения с целочисленными коэффициентами. Это было доказано в 1882 году.

? Число Пи является бесконечным.

? Интересное следствие предыдущего пункта: в числе Пи можно найти практически любое число, например свой собственный номер телефона, вопрос лишь в длине последовательности которую придется просмотреть. Можно подтвердить, что так и есть: скачав архив с 10 миллионами знаков числа Пи, я нашел в нем свой номер телефона, номер телефона квартиры где я родился, и номер телефона своей супруги. Но разумеется, никакой «магии» тут нет, лишь теория вероятности. Можно взять любую другую случайную последовательность чисел такой же длины, в ней также найдутся любые заданные числа.

И наконец, перейдем к формулам вычисления Пи, т. к. именно в них можно увидеть красоту числовых взаимосвязей — то, чем интересна математика.

Формула Лю-Хуэя (3й век):

Формула Мадхавы-Лейбница (15 век):

Формула Валлиса (17 век):

Формула Мэчина (18 век):

Попробуем вычислить число Пи по второй формуле. Для этого напишем простую программу на языке Python:

sum = 0.0
sign = 1
for p in range(0,33):
    sum += 4.0 * sign / (1 + 2 * p)
    print(p, sum)
    sign = -sign

Запустим программу в любом онлайн-компиляторе языка Питон (например https://repl.it/languages/python3). Получаем результат:

Шаг  Значение
0    4.0
1    2.666666666666667
2    3.466666666666667
3    2.8952380952380956
4    3.3396825396825403
5    2.9760461760461765
6    3.2837384837384844
7    3.017071817071818
8    3.2523659347188767
9    3.0418396189294032
10   3.232315809405594
11   3.058402765927333
12   3.2184027659273333
13   3.0702546177791854
14   3.208185652261944
15   3.079153394197428
16   3.200365515409549
17   3.0860798011238346
18   3.1941879092319425
19   3.09162380666784
20   3.189184782277596
21   3.0961615264636424
22   3.1850504153525314
23   3.099944032373808
24   3.1815766854350325
25   3.1031453128860127
26   3.1786170109992202
27   3.1058897382719475
28   3.1760651768684385
29   3.108268566698947
30   3.1738423371907505
31   3.110350273698687
32   3.1718887352371485

Как можно видеть, сделав 32 шага алгоритма, мы получили лишь 2 точных знака. Видно, что алгоритм работает, но количество вычислений весьма велико. Как известно, в 15-м веке индийский астроном и математик Мадхава использовал более точную формулу, получив точность числа Пи в 11 знаков:

Попробуем воспроизвести ее в виде программы, чтобы примерно оценить объем вычислений.

Первым шагом необходимо вычислить ?12. Возникает резонный вопрос — как это сделать? Оказывается, уже в Вавилоне был известен метод вычисления квадратного корня, который сейчас так и называется «вавилонским». Суть его в вычислении ?S по простой формуле:

Здесь x0 — любое приближенное значение, например для ?12 можно взять 3.

Запишем формулу в виде программы:

from decimal import Decimal
print ("Квадратный корень:")
number = Decimal(12)
result = Decimal(3)
for p in range(1, 9):
    result = (result + number / result)/Decimal(2)
    difference = result**2 - number
    print (p, result, difference)
sqrt12 = result

Результаты весьма интересны:

Результат: ?12 = 3,464101615137754

Как можно видеть, сделав всего 4 шага, можно получить ?12 с достаточной точностью, задача вполне посильная даже для ручных расчетов 15 века.

Наконец, запрограммируем вторую часть алгоритма — собственно вычисление Пи.

sum = Decimal(1)
sign = -1
for p in range(1,32):
    sum += Decimal(sign) / Decimal((2 * p + 1)*(3**p))
    sign = -sign
    print(p, sqrt12 * sum)
print("Result:", sqrt12 * sum)

Результаты работы программы:

Шаг  Значение
1    3.079201435678004077382126829
2    3.156181471569954179316680000
3    3.137852891595680345522738769
4    3.142604745663084672802649458
5    3.141308785462883492635401088
6    3.141674312698837671656932680
7    3.141568715941784242161823554
8    3.141599773811505839072149767
9    3.141590510938080099642754230
10   3.141593304503081513121460820
11   3.141592454287646300323593597
12   3.141592715020379765581606212
13   3.141592634547313881242713430
14   3.141592659521713638451335328
15   3.141592651733997585128216671
16   3.141592654172575339199092210
17   3.141592653406165187919674184
18   3.141592653647826046431202391
19   3.141592653571403381773710565
20   3.141592653595634958372427485
21   3.141592653587933449530974820
22   3.141592653590386522717511595
23   3.141592653589603627019680710
24   3.141592653589853940610143646

Уже на 24-м шаге мы получаем искомые 11 знаков числа Пи. Задача явно требовала больше времени чем сейчас, но вполне могла быть решена в средние века.

Современные формулы не столь просты внешне, зато работают еще быстрее. Для примера можно привести формулу Чудновского:

Для сравнения, те же 24 итерации по этой формуле дают число Пи со следующей точностью:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249.

Если сделать 100 итераций и вычислить 1000 знаков Пи, то можно увидеть так называемую «точку Фейнмана»:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420207

Это последовательность «999999», находящаяся на 762-м знаке от начала. Желающие могут поэкспериментировать дальше самостоятельно с помощью программы на языке Python:

from math import factorial
from decimal import *
def chudnovsky(n):
    pi = Decimal(0)
    k = 0
    while k < n:
        pi += (Decimal(-1)**k) * (Decimal(factorial(6 * k)) / ((factorial(k)**3) * (factorial(3*k))) * (13591409 + 545140134 * k) / (640320**(3 * k)))
        k += 1
        print("Шаг: {} из {}".format(k, n))
    pi = pi * Decimal(10005).sqrt() / 4270934400
    pi = pi**(-1)
    return pi
# Требуемая точность (число знаков)
N = 1000
getcontext().prec = N
val = chudnovsky(N / 14)
print(val)

Эта программа не оптимизирована, и работает довольно-таки медленно, но для ознакомления с сутью алгоритма этого вполне достаточно. Кстати, с помощью формулы Чудновского два инженера Александр Йи и Сингеру Кондо в 2010 году объявили о новом мировом рекорде вычисления Пи на персональном компьютере: 5 трлн знаков после запятой. Компьютеру с 12 ядрами, 97 Гб памяти и 19 жесткими дисками потребовалось 60 дней для выполнения расчетов.

На этом мы закончим с числом Пи, хотя с ним конечно, связано куда больше интересных фактов. Например 3 марта (т. е. 03.14) отмечается международный «день числа Пи», ну а другие факты читатели могут поискать самостоятельно.

Оглавление книги