Книга: Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

6. Совершенные числа

6. Совершенные числа

Еще одно удивительное свойство мира чисел было доказано еще Евклидом: если число вида 2p - 1 является простым (уже известное нам число Мерсенна), то число 2^P-1(2p - 1) является совершенным, т. е. равно сумме всех его делителей.

Рассмотрим пример для p = 13:

2¹³ - 1 = 8191. Как показывает приведенная ранее программа, 8191 — действительно простое число.

2¹² * (2¹³ - 1) = 33550336.

Чтобы найти все делители числа и их сумму, напишем небольшую программу:

def is_perfect(n):
    sum = 0
    for i in range(1, int(n / 2) + 1):
        if n % i == 0:
            sum += i
            print(i)
    print("Сумма",sum)
    return sum == n
is_perfect(33550336)

Действительно, 33550336 делится на числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 65528, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168. И сумма этих чисел равна искомому 33550336.

Совершенные числа встречаются довольно-таки редко, их последовательность согласно Википедии, образует вид:

6,
28,
496,
8128,
33 550 336,
8 589 869 056,
137 438 691 328,
2 305 843 008 139 952 128,
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176,

Кстати, еще Эйлер доказал, что все совершенные числа имеют только вид 2^p-1(2p - 1). А вот нечетных совершенных чисел пока не обнаружено, но и не доказано что их не существует. Интересно проверить этот факт практически. Совершенное число 137438691328 обнаружил еще немецкий математик Иоганн Мюллер в 16-м веке. Сегодня такое число несложно проверить на компьютере.

Во-первых, слегка оптимизируем приведенную выше программу. Как нетрудно видеть, если число N делится нацело на P, то мы «автоматом» сразу находим и второй делитель N/P. Например, если 10 делится нацело на 2, то оно делится и на 10 / 2 = 5. Это позволяет заметно сократить число вариантов перебора. Во-вторых, используем тип чисел Decimal, позволяющий использовать большие числа. Обновленная программа выглядит так:

from decimal import *
def is_perfect(n):
    s = Decimal(1)
    p = Decimal(2)
    while p < n.sqrt()+1:
        if n % p == 0:
            s += p
            if p != n/p: s += n/p
        p += 1
    return s == n
print(is_perfect(Decimal('137438691328')))

Запускаем, программа работает — число '137438691328' действительно является совершенным. Оно делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524287, 1048574, 2097148, 4194296, 8388592, 16777184, 33554368, 67108736, 134217472, 268434944, 536869888, 1073739776, 2147479552, 4294959104, 8589918208, 17179836416, 34359672832 и 68719345664, сумма этих чисел равна 137438691328. Однако, на моем компьютере проверка «совершенности» данного числа заняла… 54 секунды. Это конечно быстро по сравнению с 16-м веком, но совершенно недостаточно чтобы проверить все числа, хотя бы до миллиарда. Значит пора использовать более тяжелую артиллерию — перепишем программу на языке Си. Все-таки Python это интерпретатор, и работает заметно медленнее. Получаемый код не намного сложнее:

#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
#include <stdint.h>
bool isPerfect(unsigned long long int n)
{
  unsigned long long int sum = 1, i;
  for(i=2; i<=sqrt(n)+1; i++)
  {
    if (n%i==0) {
      sum += i;
      if (i != n/i) {
        sum += n/i;
      }
    }
  }
  return sum == n;
}
int main()
{
  unsigned long long int n = 137438691328LL;
  bool res = isPerfect(n);
  printf("%dn", res);
  return 0;
}

Компилируем программу с помощью компилятора gcc, запускаем получившийся exe-файл: время выполнения меньше секунды, уже гораздо лучше. Теперь несложно поменять функцию main для перебора всех чисел от 1 до 200000000000. В код также добавлен вывод промежуточных результатов каждые 1000000 итераций, чтобы видеть ход выполнения программы.

int main()
{
  unsigned long long int MAX = 200000000000LL;
  unsigned long long int p;
  for (p=1; p<MAX; p++) {
    if (isPerfect(p))
      printf(" %llu ", p);
        if (p % 1000000 == 0)
          printf("*%llu,%llu*", 100*p/MAX, p);
  }
}

Увы, прогноз относительно скорости расчетов оказался слишком оптимистичным. Примерно за час работы программы, было перебрано лишь 100 млн. вариантов, а для перебора всех 200 млрд. понадобился бы не один день. Желающие могут продолжить процесс самостоятельно, однако с уверенностью можно сказать что в диапазоне от 1 до 100000000 действительно нет совершенных чисел кроме 6, 28, 496, 8128 и 33550336.

Проверка числа 2 305 843 008 139 952 128 является непростой задачей даже для современного домашнего компьютера — во-первых, в языке C/C++ нет встроенных типов данных для столь большого числа, а во-вторых, число вариантов перебора весьма велико.

Разумеется, выше было приведено самое простое решение «в лоб», можно оптимизировать и саму программу, например разбить вычисление на несколько процессорных ядер, однако данная задача выходит за рамки этого материала. Немного про параллельные вычисления будет рассказано в конце книги.

Оглавление книги