Книга: Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Специальная теория относительности Эйнштейна и Пуанкаре

Специальная теория относительности

Эйнштейна и Пуанкаре

Напомним принцип относительности Галилея, который гласит, что физические законы Ньютона и Галилея останутся совершенно неизменными, если от покоящейся системы отсчета мы перейдем в другую, движущуюся равномерно и прямолинейно. Из этого принципа следует, что, просто наблюдая динамическое поведение объектов вокруг нас, мы не можем установить, находимся ли мы в состоянии покоя или движемся равномерно и прямолинейно в каком-то направлении. (Вспомним пример Галилея с кораблем в море, гл.5 «Динамика Галилея и Ньютона») Предположим теперь, что к законам Ньютона и Галилея мы присоединили уравнения Максвелла. Останется ли при этом в силе принцип относительности Галилея? Напомним, что электромагнитные волны Максвелла распространяются с фиксированной скоростью с — скоростью света. Казалось бы, здравый смысл подсказывает, что если мы будем двигаться очень быстро в каком-нибудь направлении, то должно создаться впечатление, что скорость света в этом направлении стала меньшес (поскольку мы «догоняем свет»); а скорость света в противоположном направлении — больше с (так как при этом мы движемся «от света»). Видно, что и тот, и другой результат отличны от фиксированного значения с скорости света в теории Максвелла. И здравый смысл не подвел бы нас: комбинация уравнений Ньютона и Максвелла не удовлетворяет принципу относительности Галилея.

Обеспокоенность этими проблемами привела Эйнштейна в 1905 году — а Пуанкаре даже несколько раньше (в 1898–1905 годах), — к созданию специальной теории относительности. Пуанкаре и Эйнштейн независимо обнаружили, что уравнения Максвелла тоже удовлетворяют некоторому принципу относительности (см. Пайс [1982]), т. е. остаются неизменными при переходе от неподвижной системы отсчета к движущейся, хотя правила такого перехода несовместимы с физикой Галилея-Ньютона! Чтобы сделать их совместимыми, необходимо видоизменить либо одну, либо другую систему уравнений — или же отказаться от принципа относительности. Эйнштейн не собирался отказываться от принципа относительности. Его великолепная физическая интуиция настойчиво подсказывала ему, что принцип относительности должен выполняться для физических законов нашего мира. Кроме того, Эйнштейну было хорошо известно, что практически для всех известных явлений физика Галилея-Ньютона была экспериментально проверена только при скоростях ничтожно малых по сравнению со скоростью света, при которых отмеченная выше несовместимость была несущественной. Только сам свет, как было известно, способен развивать скорости достаточно большие для того, чтобы упомянутые выше «несоответствия» начинали заметно сказываться. Следовательно, именно поведение света могло бы подсказать, какой принцип относительности следует избрать; при этом уравнения, которыми описывается свет — это уравнения Максвелла. Таким образом, выбор следовало бы остановить на принципе относительности для теории Максвелла, а законы Галилея — Ньютона — соответственно, модифицировать!

Лоренц еще до Пуанкаре и Эйнштейна тоже заинтересовался этими вопросами и даже нашел на них частичные ответы. К 1895 году Лоренц пришел к заключению, что силы, связывающие частицы материи, имеют электромагнитную природу (как в действительности и оказалось), поэтому поведение реальные материальных тел должно удовлетворять законам, вытекающим из уравнений Максвелла. Отсюда, в частности, следовало, что тело, движущееся со скоростью, сравнимой со скоростью света, должно претерпевать небольшое сокращение в направлении движения («сокращение Фитцджеральда — Лоренца»). Это вывод Лоренц использовал для объяснения удивительного экспериментального факта, установленного в 1897 году Майкельсоном и Морли, который свидетельствовал о том, что электромагнитные явления нельзя использовать для определения «абсолютной» покоящейся системы отсчета. (Майкельсон и Морли показали, что на скорость света, измеряемую на поверхности Земли, движение Земли вокруг Солнца — вопреки ожиданиям — не влияет.) Всегда ли материя ведет себя так, что ее (равномерное прямолинейное) движение не может быть обнаружено локально? Таким был предварительный вывод Лоренца; однако Лоренц в своем исследовании ограничился только специальной теорией материи, где не учитывались никакие силы, кроме электромагнитных. Пуанкаре, будучи выдающимся математиком, сумел в 1905 году строго показать, что материя должна вести себя именно так, как предполагал в своих теоретических построениях Лоренц — т. е. в соответствии с принципом относительности, лежащим в основе уравнений Максвелла — поэтому равномерное прямолинейное движение вообще не может быть обнаружено локально. Ему также удалось глубоко понять физические следствия из этого принципа (в том числе — явление «относительности одновременности», о котором мы еще поговорим далее). По-видимому, Пуанкаре рассматривал этот принцип лишь как одну из возможностей, и не разделял убеждения Эйнштейна, что определенный принцип относительности должен выполняться.

Принцип относительности, которому удовлетворяют уравнения Максвелла, ставший известным под названием специальной (или частной) относительности (СТО), довольно труден для понимания и полон противоречащих нашей интуиции моментов, которые на первый взгляд невозможно связать с реальными свойствами окружающего нас мира. Действительно, принципу специальной относительности вряд ли удастся придать смысл, если не воспользоваться еще одной идеей, введенной в 1908 году немецким геометром русского происхождения Германом Минковским (1864–1909), обладавшим в высшей степени незаурядным мышлением и тонкой интуицией. Минковский был одним из преподавателей Эйнштейна в Цюрихском Высшем Политехническом Училище. Его принципиально новая идея состояла в том, что пространство и время следует рассматривать совместно как единую сущность — четырехмерное пространство-время. В своей знаменитой лекции, прочитанной в 1908 году в Геттингенском университете, Минковский провозгласил:

Попытаемся понять основные положения специальной теории относительности в терминах величественного пространства-времени Минковского.

Одна из трудностей на пути к освоению понятия пространства-времени связана с его четырехмерностью, мешающей нам представить себе пространство-время наглядно. Но после того, как мы пережили нашу встречу с фазовым пространством, представить себе всего лишь четыре измерения не составит для нас особых трудностей! Как и в случае с фазовым пространством, мы пойдем на «обман» и нарисуем картину пространства меньшего числа измерений, но теперь степень обмана будет несравненно меньше, а картина, соответственно — гораздо точнее и ближе к истинной. Для многих целей достаточно рассмотреть двумерное пространство-время (одно измерение — для пространства и одно измерение — для времени). Я надеюсь, что читатель простит мне некоторую напористость и разрешит подняться до трехмерного пространства-времени (два измерения — для пространства, и одно измерение — для времени). Это позволит нарисовать вполне убедительную картину, посмотрев на которую нетрудно будет понять, что, в принципе, аналогичные идеи могут быть легко распространены без особых изменений и на четырехмерный случай. Рассматривая графическое изображение пространства-времени, необходимо иметь в виду, что каждая точка на картинке представляет некоторое событие, т. е. определенную точку в пространстве в какой-то конкретный момент времени. Иначе говоря, точка пространства-времени обладает только мгновенным существованием. Полная картина пространства-времени изображает всю историю: прошлое, настоящее и будущее. Любая частица, коль скоро она существует на протяжении некоторого времени, представляется в пространстве-времени не точкой, а линией, которая называется мировой линией данной частицы. Мировая линия — прямая в случае равномерного движения частицы, и искривленная, если частица движется с ускорением (т. е. неравномерно) — описывает всю историю существования частицы.

На рис. 5.16 я изобразил пространство-время с двумя пространственными измерениями и одним временны?м.

Можно считать, что существует обычная временна?я координата t, измеряемая по вертикали, и две пространственные координаты x/c и z/c, измеряемые по горизонтали[121]. Конус с вершиной в центре — это световой конус (будущего), с центром в начале координат О пространства-времени. Чтобы по достоинству оценить его значение, представьте себе, что в точке О происходит взрыв. (Иначе говоря, взрыв происходит в начале пространства в момент времени t = 0.) Этот световой конус описывает историю света, испущенного при взрыве. На языке двумерного пространства история вспышки света была бы окружностью, расширяющейся со скоростью света с. В полном трехмерном пространстве вместо окружности мы имели бы сферу, расширяющуюся со скоростью света с, — сферический волновой фронт света. Но в рассматриваемом примере мы «подавляем» пространственное направление у и поэтому получаем всего лишь окружность, подобную круговым волнам, расходящимся от точки падения камня на поверхность пруда. Нетрудно понять, что на объемной картине пространства-времени мы получим расширяющиеся окружности, если рассмотрим серию горизонтальных сечений светового конуса, каждое последующее из которых расположено выше предыдущего. Эти горизонтальные сечения представляют собой различные пространственные описания волнового фронта света по мере возрастания временно?й координаты t. Одна из отличительных особенностей специальной теории относительности состоит в том, что никакая материальная частица не может двигаться быстрее света (подробнее об этом — чуть позднее). Все материальные частицы, возникшие при взрыве, должны отставать от света. На языке пространства-времени это означает, что мировые линии всех частиц, испущенных при взрыве, должны лежать внутри светового конуса.

Часто свет бывает удобно описывать не электромагнитными волнами, а как поток частиц, называемых фотонами. Мы можем мысленно представлять себе «фотон» как крохотный «пакет» электромагнитного поля, осциллирующего с высокой частотой. Термин «волновой пакет» физически более приемлем в контексте квантовых описаний, к которым мы перейдем в следующей главе, но пока для нас будут полезны и «классические» фотоны. В свободном пространстве фотоны всегда движутся по прямолинейным траекториям с постоянной скоростью с. Это означает, что, изображенная на картине пространства-времени Минковского мировая линия фотона всегда имеет вид прямой, образующей с вертикалью угол 45°. Фотоны, образовавшиеся при взрыве в точке О пространства-времени, описывают световой конус с вершиной в О.

Описанными выше свойствами должны обладать все точки пространства-времени. В начале пространства-времени нет ничего особенного: точка О ничем не отличается от любой другой точки. Следовательно, в любой точке пространства-времени должен быть свой световой конус, имеющий такой же смысл, как и световой конус, исходящий из начала пространства-времени. История любой вспышки света, или мировые линии фотонов, если угодно воспользоваться корпускулярным описанием света, всегда располагаются на поверхности светового конуса с вершиной в каждой точке пространства-времени — тогда как история любой материальной частицы всегда должна располагаться внутри соответствующего светового конуса. Это показано на рис. 5.17. Семейство световых конусов во всех точках пространства-времени можно рассматривать как часть геометрии Минковского пространства-времени.

Что такое геометрия Минковского? Самая важная ее часть — структура светового конуса, хотя геометрия Минковского ею не исчерпывается. В этой геометрии существует понятие «расстояния», во многом аналогичное определению расстояния в евклидовой геометрии. В трехмерной евклидовой геометрии расстояние r от произвольной точки до начала координат, выраженное через обычные декартовы координаты, определяется соотношением

r² = x² + y² + z²

(См. рис. 5.18 а. Это — всего лишь теорема Пифагора; возможно, двумерный вариант этого соотношения более привычен читателю.) В нашей трехмерной геометрии Минковского выражение для расстояния очень похоже на евклидово (рис. 5.18 б); существенное отличие состоит в том, что в геометрии Минковского это выражение содержит два знака минус:

Каков физический смысл величины «расстояния» s в этом выражении? Предположим, что мы рассматриваем точку Р с координатами (t, x/c, y/c, z/c), или (t, x/c, z/c) в трехмерном случае; см. рис. 5.16 — она лежит в световом конусе (будущего) точки О. Тогда прямолинейный отрезок ОР может представлять часть истории какой-то материальной частицы, например, испущенной при взрыве. «Длина» Минковского s отрезка ОР допускает прямую физическую интерпретацию. Это — продолжительность (длина) интервала времени, реально прожитого частицей между событиями О и Р! Иначе говоря, если бы существовали очень прочные и точные часы, намертво прикрепленные к частице[122], то разность между их показаниями в точках О и Р составила бы ровно s единиц времени. Вопреки ожиданиям, величина t сама по себе не описывает время, измеряемое этими гипотетическими часами — за исключением того случая, когда часы «покоятся» в нашей системе координат (т. е. имеют фиксированные значения координат х/с, у/с, z/c), а это означает, что мировая линия часов имеет на «картине» вид вертикальной прямой. Таким образом, t будет задавать «время» только для тех наблюдателей, которые «стационарны» (т. е. чьи мировые линии — «вертикальные» прямые). Правильной мерой времени для движущегося (равномерно и прямолинейно из начала координат О) наблюдателя, согласно специальной теории относительности, служит величина s. Заключение, к которому мы пришли, весьма удивительно и полностью расходится с находящейся в согласии со «здравым смыслом» галилеево-ньютони-анской мерой времени, которая просто совпадает с координатным значением t. Обратите внимание на то, что релятивистская (в смысле Минковского) мера времени s всегда несколько меньше, чем t, если вообще существует какое-то движение (так как s² меньше, чем t², коль скоро не все координаты х/с, у/с, z/c равны нулю), как это следует из приведенной выше формулы. Наличие движения (т. е. случай, когда отрезок ОР расположен не вдоль оси t) приводит к «замедлению» хода часов по сравнению с t, иными словами, по отношению к показаниям часов в нашей системе отсчета. Если скорость движения мала по сравнению с с, то величины s и t почти совпадают, чем объясняется то, что мы непосредственно не ощущаем «замедление хода движущихся часов». В другом предельном случае, когда скорость движения совпадает со скоростью света, точка Р лежит на световом конусе, и мы получаем s = 0. Световой конус есть не что иное, как геометрическое место точек, для которых «расстояние» в смысле Минковского (т. е. «время») от начала координат О действительно равно нулю. Таким образом, фотон вообще «не ощущает», как течет время! (Мы не можем позволить себе рассматривать еще более экстремальный случай, когда точка Р движется у самой поверхности снаружи светового конуса, так как это привело бы к мнимому значению s — квадратному корню из отрицательного числа, и нарушило бы правило, согласно которому материальные частицы, или фотоны, не могут двигаться быстрее света.)[123]

Понятие «расстояния» в смысле Минковского одинаково хорошо применимо к любой паре точек в пространстве-времени, одна из которых лежит внутри световою конуса другой, так что частица может двигаться из одной точки в другую. Мы просто будем считать, что начало координат О перенесено в какую-то иную точку пространства-времени. Кроме того, расстояние по Минковскому между точками соответствует интервалу времени, отсчитываемого часами, которые равномерно и прямолинейно движутся из одной точки в другую. Когда в качестве частицы выступает фотон, и расстояние в смысле Минковского обращается в нуль, мы получаем две точки, одна из которых лежит на световом конусе другой — что позволяет строить световой конус для последней.

Основная структура геометрии Минковского со столь причудливой мерой «длины» мировых линий, интерпретируемой как время, измеряемое (или «прожитое») физическими часами, несет в себе самую суть специальной теории относительности. В частности, читателю, возможно, известен так называемый «парадокс близнецов» в СТО:

один из братьев-близнецов остается на Земле, другой совершает путешествие на соседнюю звезду, двигаясь туда и обратно с огромной скоростью, приближающейся к скорости света. По возвращении выясняется, что близнецы состарились неодинаково: путешественник все еще молод, а его брат, остававшийся на Земле, стал дряхлым стариком. «Парадокс близнецов» легко описывается в терминах геометрии Минковского, и всякий может без труда понять, почему это явление — хотя и способное озадачить — парадоксальным все же не является. Мировая линия АС принадлежит тому из близнецов, который остается дома, тогда как мировая линия близнеца-путешествен-ника состоит из двух отрезков А В и ВС, соответствующих полету на звезду и возвращению на Землю (рис. 5.19).

Близнец-домосед проживает время, измеряемое расстоянием в смысле Минковского АС, тогда как близнец-путешественник проживает время, измеряемое суммой[124] двух расстояний АВ и ВС. Эти времена не равны, и мы обнаруживаем, что

АС > АВ + ВС.

Это неравенство показывает, что время, прожитое близнецом-домоседом, действительно больше времени, прожитого близнецом-путешественником.

Полученное неравенство очень похоже на хорошо известное неравенство треугольника из обычной евклидовой геометрии (А, B и С теперь — три точки в евклидовом пространстве):

АС < АВ + ВС,

которое утверждает, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Это неравенство мы не считаем парадоксом! Мы прочно усвоили идею о том, что евклидова мера расстояния вдоль пути из одной точки в другую (в нашем случае — из А в С), зависит от того, какой путь мы в действительности выберем. (В рассматриваемом примере двумя путями служат АС и более длинный изломанный маршрут ABC.) Неравенство треугольника — частный случай общего утверждения, которое гласит, что кратчайшее расстояние между двумя точками (в данном случае А и С) измеряется по прямой, их соединяющей (отрезок АС). Изменение знака неравенства на обратный при измерении расстояний в смысле Минковского происходит вследствие изменения знаков в определении «расстояния», в результате чего отрезок АС, измеряемый по Минковскому, оказывается «длиннее», чем ломаный маршрут ABC. Таким образом, «неравенство треугольника» в геометрии Минковского в более обобщенной формулировке говорит о том, что самой длинной (в смысле наибольшего прожитого времени) среди мировых линий, соединяющих два события, является прямая (т. е. траектория, соответствующая равномерному движению). Если оба близнеца стартуют из точки А и завершают свой путь в точке С, и при этом первый близнец движется прямо из А в С без ускорения, а второй — с ускорением, то первый близнец к моменту встречи со вторым всегда успевает прожить более длинный интервал времени.

Может показаться возмутительным вводить столь странную и сильно расходящуюся с нашими интуитивными представлениями концепцию меры времени. Однако ныне имеется огромное количество экспериментальных данных, свидетельствующих о правомерности такого положения. Например, существует много субатомных частиц, которые распадаются (т. е. превращаются в другие частицы) в определенной шкале времени. Иногда такие частицы движутся со скоростями, очень близкими к скорости света (например, так происходит с космическими лучами, попадающими на Землю из космического пространства, или в созданных человеком ускорителях элементарных частиц), и их времена распада оказываются при этом «растянуты» в полном согласии с вышеизложенными рассуждениями. Еще удивительнее другое: теперь, когда стало возможным изготовить особо точные («ядерные») часы, мы можем непосредственно обнаружить эффекты замедления хода часов, перевозимых на высокоскоростных самолетах, летающих на небольшой высоте — причем результаты измерений согласуются с мерой «расстояния» s в смысле Минковского, а не с t! (Строго говоря, с учетом высоты приходится принимать во внимание небольшие дополнительные гравитационные эффекты, предсказываемые общей теорией относительности, но они также согласуются с наблюдениями — см. следующий раздел.) Кроме того, существует много других явлений, тесно связанных со всей теоретической основой СТО, постоянно подтверждающейся вплоть до мельчайших деталей. Одно из них — знаменитое соотношение Эйнштейна

Е = mc²,

которое по существу устанавливает равноправие энергии и массы. (В конце этой главы мы познакомимся с некоторыми необычайно заманчивыми следствиями из этого соотношения.)

Я еще не объяснил, каким образом принцип относительности оказывается реально включенным в намеченную выше схему. Каким образом происходит, что наблюдатели, движущиеся прямолинейно и равномерно с различными скоростями, могут оказаться эквивалентными с точки зрения геометрии Минковского? Каким образом ось времени на рис. 5.16 («стационарный наблюдатель») может быть полностью эквивалентной некоторой другой прямолинейной мировой линии, например, отрезку ОР («движущийся наблюдатель»)? Задумаемся сначала над особенностями евклидовой геометрии. Ясно, что в ней две произвольные несовпадающие прямые совершенно эквивалентны по отношению к геометрии в целом. Можно мысленно представить себе, что все евклидово пространство «скользит» по самому себе как «жестко скрепленное целое» до тех пор, пока одна прямая не совпадет с другой. Представьте себе двумерный случай — евклидову плоскость. Можно представить себе листок бумаги, жестко скользящий по плоской поверхности, до тех пор, пока некоторая прямая, проведенная на листке бумаги, не совпадет с прямой, проведенной на поверхности. Это «жесткое» движение сохраняет структуру геометрии. Аналогичное утверждение справедливо и относительно геометрии Минковского, хотя это и менее очевидно, так что следует проявлять особую осмотрительность, договариваясь о том, какой смысл надлежит вкладывать в термин «жесткое движение». Вместо листка бумаги следует рассматривать особый материал (возьмем сначала для простоты двумерный случай), на котором прямые с углом наклона 45° сохраняют этот угол, тогда как сам материал может растянуться в одном направлении под углом 45° и, соответственно, сжаться в другом направлении под углом 45°. Такая ситуация изображена на рис. 5.20. На рис. 5.21 я попытался показать, что происходит в трехмерном случае.

Эта разновидность «жесткого движения» пространства Минковского, называемая движением Пуанкаре (или неоднородным движением Лоренца), может выглядеть не очень «жесткой», но она сохраняет все расстояния в смысле Минковского, а «сохранение всех расстояний» — это ни что иное, как смысл понятия «жесткий» в евклидовом случае. Принцип специальной относительности утверждает, что законы физики при таких движениях Пуанкаре пространства-времени остаются неизменными. В частности, «стационарный» наблюдатель S, мировая линия которого совпадает с осью времени на нашем исходном изображении пространства-времени Минковского (рис. 5.16), имеет дело с физикой, совершенно эквивалентной физике «движущегося» наблюдателя М с мировой линией вдоль прямой ОР.

Каждая координатная плоскость t = const представляет для наблюдателя S «пространство» в какой-то один момент «времени», т. е. семейство событий, которые он считает одновременными (происходящими в «одно и то же время»). Назовем эти плоскости одновременными пространствами наблюдателя S. Когда же мы переходим к другому наблюдателю М, то с необходимостью переводим наше исходное семейство одновременных пространств в некоторое новое семейство с помощью движения Пуанкаре, что позволяет нам получить одновременные пространства для наблюдателя М[125]. Обратите внимание на то, что одновременные пространства наблюдателя М выглядят «наклоненными вверх» (рис. 5.21). Если мыслить в терминах жестких движений в евклидовой геометрии, то может показаться, что наклон на рис. 5.21 изображен не в ту сторону, но именно таким его следует ожидать в геометрии Минковского. Наблюдатель S думает, что все события на любой плоскости t = const происходят одновременно, а наблюдатель М должен придерживаться другого мнения: ему кажется, что одновременно происходят все события на каждом из «наклоненных» одновременных пространств! Геометрия Минковского сама по себе не содержит единственного понятия «одновременности»; но каждый наблюдатель, движущийся равномерно и прямолинейно, имеет свое собственное представление о том, что значит «одновременно».

Рассмотрим два события R и Q на рис. 5.21. С точки зрения наблюдателя S событие R происходит раньше события Q, так как R лежит в более раннем одновременном пространстве, чем Q. Но с точки зрения наблюдателя М все будет наоборот, и событие Q окажется в более раннем одновременном пространстве, чем R. Таким образом, для одного наблюдателя событие R происходит раньше события Q, а для другого наблюдателя — позже! (Так может случиться лишь потому, что события R и Q, как принято говорить, пространственно разделены, что означает следующее: каждое событие находится вне светового конуса другого события, в результате чего ни одна материальная частица или фотон не могут совершить путешествие от одного события к другому.) Даже при очень медленных относительных скоростях для точек, разделенных большими расстояниями, имеют место значительные различия в хронологической последовательности. Представим себе двух людей, медленно проходящих друг мимо друга на улице. События в туманности Андромеды (ближайшей большой галактики, находящейся на расстоянии 20 000 000 000 000 000 000 км от нашей собственной галактики — Млечного Пути), одновременные по мнению этих двух прохожих, в тот момент, когда они поравняются друг с другом — могут отстоять по времени друг от друга на несколько суток (рис. 5.22).

В то время как для одного из прохожих космический флот, отправленный с заданием уничтожить все живое на Земле, уже находится в полете, для другого прохожего само решение относительно отправки космического флота в рейд еще не принято!

Оглавление книги