Книга: Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Сноски из книги

· #1

Конечно, очень известная и манящая книга для пытливого ума. Но прошу обратить внимание на критику этой книги (а так же и «Тени разума») в интернете (в частности на сайте Олега Акимова http://sceptic-ratio.narod.ru/po/kn2.htm).

Так же в сети имеется PDF-файлы этой книги Пенроуза с комментариями Валдиса Эгле — латвийского мыслителя, автора Веданской теории, небезынтересными для изыскателей ? прим. верст. fb2

· #2

В 1955 году, будучи студентом, Пенроуз переизобрел псевдообращение (известное также как обращение Мура-Пенроуза). В 1958 году в Кембридже Пенроуз получил степень доктора философии, защитив диссертацию по основным методам алгебраической геометрии. В 1965 году вновь в Кембридже Пенроуз показал, что сингулярности, подобные существующим в черных дырах, могут быть сформированы в процессе гравитационного коллапса умирающих больших звезд.

В 1967 году Пенроуз разработал теорию твисторов, которая отображает геометрические объекты пространства Минковского на четырехмерное сложное пространство. В 1969 году он выдвинул гипотезу «космической цензуры» (cosmic censorship). Она состоит в том, что свойства самой Вселенной не допускают наблюдения свойственной сингулярностям (например, в черных дырах) непредсказуемости, закрывая формирующиеся сингулярности горизонтами событий. Данная форма сейчас известна как гипотеза слабой цензуры (weak censorship hypothesis). В 1979 году Пенроуз выдвигает гипотезу сильной цензуры (strong censorship hypothesis). В 1974 году Роджер Пенроуз приобретает широкую известность как изобретатель мозаики Пенроуза, позволяющей с помощью всего лишь двух плиток весьма простой формы замостить бесконечную плоскость никогда не повторяющимся узором.

В 1984 году подобные структуры были найдены в расположении атомов квазикристаллов. Cамым важным научным вкладом Пенроуза можно считать изобретение спиновых сетей (spin networks) (1971 год), которые затем были активно использованы для описания геометрии пространства-времени в петлевой квантовой гравитации. В 2004 году Пенроуз выпустил книгу «Дорога к реальности» (The Road to Reality) — изложение собственных взглядов на законы Вселенной; в ней 1099 страниц, содержащих обширные комментарии к законам физики. В 2005, в июньском номере журнала Discover, Пенроуз обрисовал собственную интерпретацию квантовой механики.

Информация была взята из Wikipedia; дополнительные сведения опубликованы на сайте www.answers.com/ ? прим. верст. fb2

· #3

Ма?ртин Га?рднер (англ. Martin Gardner; род. 21 октября 1914, Талса, Оклахома, США — 22 мая 2010, Норман, Оклахома, США) — американский математик, писатель, популяризатор науки. Опубликовал более 70 книг.

Wikipedia ? прим. верст. fb2

· #4

Необходимо заметить: чтобы иметь возможность прочитать книгу даже на старых читалках, в которых не поддерживается Юникод, сделана замена некоторых символов, которые отсутствуют в «таблице символов» простого шрифта Arial, однако, смысл остается неизменным. Например, символы перевернутых букв А и Е, обозначающих соответственно Квантор общности и Квантор существования, были заменены на А_к.о.и Е_к.с.. Там, где какие-то замены символов, оговорено в сносках или использованы рисунки с формулами. Верстка в простом Arial- шрифте. Выделен прописной шрифт, как в книге т. е. и читать в простом Arial'е. ? Прим. верст. fb2

· #5

NSF — аббревиатура с англ. National Science Foundation (Национальный Научный Фонд). — Прим. ред.

· #6

Rouse Ball, W. W. and Coxeter, H. S. M., Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, London, 1959. (Рус. пер.: Боля У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир, 1986). — Прим. ред.

· #7

Треугольник Пенроуза — одна из основных невозможных фигур, известная также под названиями невозможный треугольник и трибар.

Был открыт в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом, который изобразил его в виде набора кубиков. В 1980 году этот вариант невозможного треугольника был напечатан на шведских почтовых марках.

Широкую известность эта фигура обрела после опубликования статьи о невозможных фигурах в Британском журнале психологии английским математиком Роджером Пенроузом. В этой статье невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме — в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами. Под влиянием этой статьи в 1961 голландский художник Мауриц Эшер создал одну из своих знаменитых литографий «Водопад».

Wikipedia ? прим. верст. fb2

· #8

Лестница Пенроуза (бесконечная лестница, невозможная лестница) — это одна из основных невозможных фигур, открытая Оскаром Реутерсвардом. Модель её была разработана и опубликована Лайонелом и Роджером Пенроузами в журнале British Journal of Psychology в 1958 году.

После публикации в 1960 году литографии «Восхождение и нисхождение» художника Маурица Эшера данная невозможная фигура стала одной из самых популярных. Впоследствии лестница Пенроуза часто встречалась в книгах, играх, головоломках, учебниках психологии и т. д.

Wikipedia ? прим. верст. fb2

Лестница Пенроуза в фильме режиссера Кристофера Нолана «Начало», 2010 г.

· #9

Кусочки из литографий Морица Эшера

«Восхождение и спуск». Монахи, идущие во внешнем ряду, все время взбираются вверх, а кто движется во внутреннем, соответственно, неуклонно спускаются вниз.

«Водопад» Морица Эшера.? В этой работе изображен парадокс — падающая вода водопада управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Водопад имеет структуру «невозможного» треугольника Пенроуза. ? прим. верст. fb2

· #10

Gardner, M., Penrose tiles to trapdoor ciphers. W. H. Freeman and Company, New York, 1989. (Рус. пер.: Гарднер M. От мозаик Пенроуза к надежным шрифтам. М.: Мир, 1993). — Прим. ред.

· #11

В оригинале название книги The Emperor's New Mind перекликается с названием известной сказки Г.-Х. Андерсена The Emperor's New Clothes — Новый наряд короля. — Прим. ред.

· #12

Shadows of the Mind, Oxford University Press, 1994; pb. Vintage, 1995.

· #13

Заинтересованный читатель может ознакомиться с критическими замечаниями и моими ответами на них в Behavioral and Brain Sciences, 13 D) A990), 643–705 и в Psyche (MIT Press), 2 A996), 1-129. Последний из этих материалов можно найти на веб-сайте

http://psyche.cs.monash.edu.au/psyche-index-v2-l.html

я рекомендую прочитать приведенные мной возражения (озаглавленные Beyond the Doubting of a Shadow) на критические замечания по этому вопросу перед тем, как приступить к чтению книги «Тени разума». Следующим источником дополнительной информации может служить моя работа The Large, the Small and the Human Mind (Cambridge University Press, 1997).

· #14

Goodstein, R. L., On the restricted ordinal theorem. Journal of Symbolic Logic, 9 (1944), 33–41.

· #15

См. также Penrose, R., On understanding understanding. International Studies in the Philosophy of Science, 11(1997), 7-20.

· #16

Accessible independence results for Peano arithmetic.Bulletin of the London Mathematical Society, 14 A982), 285-93.

· #17

Заинтересованный читатель может ознакомиться с критическими замечаниями и моими ответами на них в Behavioral and Brain Sciences, 13 D) A990), 643–705 и в Psyche (MIT Press), 2 A996), 1-129. Последний из этих материалов можно найти на веб-сайте

http://psyche.cs.monash.edu.au/psyche-index-v2-l.html

я рекомендую прочитать приведенные мной возражения (озаглавленные Beyond the Doubting of a Shadow) на критические замечания по этому вопросу перед тем, как приступить к чтению книги «Тени разума». Следующим источником дополнительной информации может служить моя работа The Large, the Small and the Human Mind (Cambridge University Press, 1997).

· #18

On the gravity role in quantum state reduction, General Relativity and Gravitation, 28 (1996), 581–600.

· #19

Cм. Penrose, R., Quantum computation, enanglement and state reduction, Phil. Trans. Royal Soc. London, A356 A998), 1927-39; и Moroz, I., Penrose, R. and Tod, K. P., Spherically symmetric solutions of the Schrodinger-Newton equations, Classical and Quantum Gravity, 15 (1998).

· #20

Hameroff, S. R. and Penrose, R., Conscious events as orchestrated space-time selections, J. Consciousness Studies, (1996), 36–63.

Hameroff, S. R. and Penrose, R., Orchestrated reduction of quantum coherence in brain microtubules — a model for consciousness; в сборнике Towards a science of consciousness: contributions from the 1994 Tucson Conference (ed. S. Hameroff, A. Kazniak and A. Scott), MIT Press 1996. Hameroff, S. R., Fundamental Geometry: the Penrouse — Hameroff «Orch OR» model of cosciousness в сборнике The geometric universe, science, geometry and the work of Roger Penrose (ed. S. A. Huggett, L. J. Mason, K.P.Tod, S.T.Tsou and N.M.J.Woodhouse), Oxford University Press, 1998.

· #21

См., например, работы Гарднера [1958], Грэгори [1981] и содержащиеся там ссылки.

· #22

Неизбежная проблема в изложении подобного рода — дилемма между «он» и «она» в контексте, не подразумевающем никакого указания на пол. Ссылаясь на некоторый абстрактный персонаж, я далее буду использовать местоимение «он», имея в виду «он или она» — это, по-моему, является обычной практикой. Однако в данном случае я отдаю предпочтение женщине в роли опрашивающего, и, надеюсь, меня простят за этот единственный пример явной «половой дискриминации». Я думаю, что при определении истинно человеческих качеств женщина окажется чувствительней своего мужского двойника!

· #23

См., например, работу Резникова и Уэллса [1984]. Ознакомиться с классическими обзорными работами по «чудесам» вычислений можно у Рауза Болла [1982] и Смита [1983].

· #24

Я придаю особое внимание тому, что я считаю честным прохождением теста Тьюринга. Я могу, например, представить ситуацию, в которой после длинной череды поражений компьютер будет запоминать все данные ранее человеком ответы и затем выдавать их в смеси с подходящими случайными добавками. Через какое-то время у нашей уставшей опрашивающей могут кончиться нетривиальные вопросы для беседы, и она окажется обманутой компьютером — тогда я назову это «мошенничеством» с его стороны!

· #25

См. работы Грэгори [1981] и Уолтера [1953].

· #26

Этот пример взят из Дельбрюка [1986].

· #27

В мае 1997 года чемпион мира Г. Каспаров, рейтинг которого превышал 2800 единиц Эло, проиграл компьютерной программе Deep Blue со счетом 3,5: 2,5. В октябре 2002 года матч между чемпионом мира В. Крамником и программой Deep Fritz закончился вничью — 4:4. — Прим. ред.

· #28

Смотри статьи О'Коннелла [1988] и Кина [1988]. За дальнейшей информацией по компьютерным шахматам я отсылаю читателя к Леви[1984].

· #29

Конечно же, сложность большинства шахматных задач рассчитывалась на людей. Возможно, было бы не так уж трудно придумать шахматную задачу, не очень сложную для человеческого существа, но такую, что современные шахматные компьютеры не смогли бы решить и за тысячу лет. (Принцип подобной задачи достаточно очевиден: она должна состоять из очень большого числа ходов. Известны задачи, требующие для решения порядка 200 ходов — более чем достаточно!)

· #30

По состоянию дел на 1989 год!

· #31

Везде в этой книге я использую термин Серла «сильный ИИ» для обозначения этой радикальной точки зрения просто чтобы быть точным. Слово «функционализм» часто применяется по отношению к такому же по сути воззрению, но, наверное, не всегда корректно. Этой точки зрения придерживаются Мински [1968], Фодор [1983], Хофштадтер [1979], Моравец [1989].

· #32

См. работу Серла [1987] в качестве примера такого утверждения.

· #33

Чоу мейн (англ. chow meiri) — распространенное китайское блюдо на основе жареной лапши. — Прим. ред.

· #34

Дуглас Хофштадтер в своей критике оригинальной работы Серла (так, как она перепечатана в The Mind's I) возражает, что ни одно человеческое существо не в состоянии «разобраться» в полном описании разума другого человека из-за большой сложности. И это действительно так! Но мне кажется, что идея не в этом. Ведь выполнить нужно будет только ту часть алгоритма, которая должна отвечать какому-то одному мыслительному процессу. Таким могло бы оказаться некое мгновенное «осознание» при ответе на вопрос теста Тьюринга, или даже что-нибудь еще более простое. А кто сказал, что подобное действие с необходимостью потребовало бы выполнения алгоритма невообразимой сложности?

· #35

См. статью Серла [1980], которая была опубликована в книге Хофштадтера и Деннетта [1981].

· #36

См., однако, рассуждения о теории сложности и NP-задачах в конце главы 4.

· #37

Некоторые читатели, сведущие в этом вопросе, могли бы возмутиться из-за некоторой разницы в знаках. Но даже это (спорное) различие пропадет, если мы при замене поверием один из электронов на 360 градусов! (Пояснения можно найти в главе 6.)

· #38

См. вступление к книге Хофштадтера и Деннетта [1981].

· #39

Автор имеет в виду созвучность английских слов algorithm и arithmetic. — Прим. ред.

· #40

Я использую обычную современную терминологию, в которой множество «натуральных чисел» включает и нуль.

· #41

На самом деле Тьюринг использовал более сложные записи на ленте, но это не имеет принципиального значения, поскольку такие записи всегда могут быть представлены в виде последовательностей меток (одного типа) и пробелов. Я и далее, когда это допустимо, буду довольно свободно обращаться с исходными определениями Тьюринга.

· #42

Существует немало других известных в математике способов записи пар, троек и большего количества чисел в виде одного числа, но они менее удобны для наших целей. Например, формула ?((а + Ь)? + 3а + b) однозначно представляет пару (а, Ь) как одно натуральное число. Проверьте сами!

· #43

В изложенном выше я не вводил никакой метки для начала последовательности чисел (или инструкций и т. п.). Это совершенно не требуется для входных данных, поскольку все начинается в тот момент, когда считана первая единица. Однако для конечного результата может понадобиться что-то дополнительное, поскольку априори никто не может сказать, как долго придется двигаться по ленте, чтобы добраться до первой (т. е. самой левой!) единицы. Хотя при движении налево может встретиться длинная строка нулей, нет никаких гарантий, что еще дальше не встретится единица. В этом случае применимы различные подходы. Можно было бы всегда использовать специальную отметку (допустим, 6, записанную при помощи процедуры «сокращения»), чтобы указывать начало и завершение окончательного ответа. Но для простоты я в своем изложении буду придерживаться другой точки зрения, согласно которой мы всегда «знаем», сколько в действительности ленты обработало наше устройство (например, можно представить, что оно оставляет своего рода «след»), так что не обязательно просматривать ленту до бесконечности, чтобы убедиться в том, что весь ответ считан.

· #44

Один из способов записи информации с двух лент на одну — вставить записи одной из них между записями другой. При этом нечетные отметки на новой ленте могут соответствовать отметкам первой ленты, тогда как четные — отметкам второй. Аналогичная схема работает и для четырех, и для большего числа лент. «Неэффективность» этой процедуры обусловлена тем, что считывающему устройству пришлось бы «прыгать» взад-вперед по ленте, оставляя на ней маркеры как на четных местах, так и на нечетных, с тем чтобы фиксировать свое положение в каждый момент.

· #45

В согласии с предложенным здесь описанием, эта блок-схема была бы скорее частью «устройства», нежели внешнего окружения — «ленты». На ленте мы до сих пор отображали только числа А, В, А — В, и т. п Однако в дальнейшем нам потребуется также возможность описания и самого устройства в линейной одномерной форме. Как мы увидим далее в связи с универсальной машиной Тьюринга, есть тесная взаимосвязь между свойствами конкретного «устройства» и свойствами возможных «данных» (или «программы») для него. Поэтому удобно в обоих случаях придерживаться одномерной формы записи.

· #46

Эта процедура имеет отношение только к методу, который позволяет интерпретировать запись на ленте как натуральное число. Она не изменяет номера наших конкретных машин Тьюринга, таких как EUC и XN + 1.

· #47

Если Tn определена некорректно, то U будет действовать так, как если бы число, отвечающее n, обрывалось сразу по достижении последовательности из четырех или более единиц в двоичной записи n. Остаток выражения будет считан уже как число m, после чего устройство начнет совершать некие бессмысленные вычисления! От этого свойства можно при желании избавиться, если представлять n в расширенной двоичной форме. Я решил не делать этого, чтобы еще больше не усложнять описание несчастной универсальной машины Тьюринга!

· #48

Я благодарен Давиду Дойчу за то, что он нашел десятичную форму двоичного представления u, которое я привожу ниже. Я признателен ему также за проверку того факта, что это двоичное значение и действительно задает универсальную машину Тьюринга! Двоичная запись и выглядит следующим образом:

10000000010111010011010

00100101010110100011010

00101000001101010011010

00101010010110100001101

00010100101011010010011

10100101001001011101010

00111010101001001010111

01010100110100010100010

10110100000110100100000

10101101000100111010010

10000101011101001000111

01001010100001011101001

01001101000010000111010

10000111010100001001001

11010001010101101010010

10110100000110101010010

11010010010001101000000

00110100000011101010010

10101011101000010011101

00101010101010101110100

00101010111010000101000

10111010001010011010010

00010100110100101001001

10100100010110101000101

11010010010101110100101

00011101010010100100111

01010101000011010010101

01011101010010001011010

10000101101010001001101

01010101000101101001010

10010010110101001001011

10101010010101110101001

01001101010100001110100

01001001010111010101001

01011101010100000111010

10010000011010101010010

11101010010101101000100

10001110100000001110100

10100101010101110100101

00100101011101000001010

11101000010001110100000

10101001110100001010011

10100000100010111010001

00001110100001001010011

10100010000101101000101

00101110100010100101101

00100000101101000101010

01001101000101010101110

10010000011101001001010

10101110101010100110100

10001010110100100100101

10100000001011010000010

00110100000100101101000

00000011010010100010111

01001010100011010010100

10101101000001001110100

10101001011010010011101

01000000101011101010000

00110101010001010101101

00101010110101000010101

11010100100101011101010

00100101101010010000101

11010000001110101001000

10110101001010011010101

00010111010100101001011

10101010000010111010101

00000101110100000011101

01010000101011101001010

10110101010000101110101

00010101011101010100100

10111010101010000111010

10000000111010010010000

11010010010001011010101

01010011101000000001011

01001000011010101010100

10111010010000110100100

01010101110100001000111

01000100001110100001101

00000001011010000010010

11101010100101010110100

01000100101110100000100

11101010100110100000101

01011010000100001110100

10000100011101010101010

10011101000010010011101

00010010000111010000101

00101101000010100001110

10101010101011101000100

10011010001001001101010

01010010111010001000101

01110100000001110100010

01001011101001101001001

00001011010101010011010

00101000101110100001101

01000010001011010100110

10101001010010110101010

01101001001010111010011

01001000001011010001010

10100011101001000010101

10100000010011010010001

00101110100100001101010

00001001011101001001010

01101001001010101101001

10100100101001011010011

01001010000010110100100

00011101010010011010101

01000010111010010100001

01110100101010101110101

00010010110100100111010

01010100010111010001001

11010100001011010010011

10100101010101011101001

00011101001010101001011

10100100011101010000010

10101110011010100000101

10100100111010100000010

11101001011010100000101

01101001010010111010100

00100101110100001101010

00100001011010100110101

00010001011010101010010

11101010001010010110100

01010101011101001000010

10110101000101110101001

00101010111010101001001

01110101000111010100011

10101001001001011101010

00111010100101000101110

10100010111010100001001

01110101000111010001010

00101110100101001011101

01001010100101110100101

01010101011010100001010

10101101000010011101000

01010101010111010101000

10101110101010001010111

01000000111010101000100

10111010000001110101010

01000101110101000000110

10100001011010000001110

10010000001011101010001

11010100100010101110101

00110101010100010101101

00000110101010100101010

11010000001001101010101

00100111010100110101010

10010010110101001101001

00100111010000011010101

01010010101101010001001

10100010100101010111010

00001101010101010100101

10100010001110100010101

01010101101000100011101

00001010111010001001000

01110100110100000001001

11010000001001011101000

10001010011101000000100

10111010010101010100101

10100001010101011101000

10010100101110100000100

01011101010100101101000

10001001110100000100101

01110100000010101011010

00010001110011110100001

00000111010000100100111

01000001010010111010000

01010010110100001000101

01110100001000100110100

01000011101011110100001

00100101110100001001001

01110100000001010111010

00010101000110100010010

11101000010000011101000

01001110100010000010111

01010100101101000100000

10111010000101010101110

10000001010101110100010

00010101110100010000101

01110100100000111010100

10010011010000001010111

01000100010010111010101

00001110101001010110100

10101010000110100000101

00110100000001110100000

10010011101001011010010

00101001011010101001101

00010100100101101010100

11010001010100010110011

01010010010111010101001

10100010101010101100110

10100010101011001101001

00010101010111010001000

11101001001010101010110

10010100101000110100100

00001011101000001101010

10010101010110100101010

11010010001000101110100

01010101101010000010101

10100010000011010010001

01011010000100111010100

10101010101110100101101

00100100010101100110100

10010010101011101001101

00100100101011010010110

10010010010010110100101

10100100101000101100110

10010010100101011101000

10101110100100101110011

01001001010100101110011

01001010001010101110100

01000111010000101001011

01001010001011101001010

00101011010001001110100

10100010010111010001001

11010010100100010111001

10100100010001110100010

01110100101001010101110

01101001010000011100110

10101010101101000000011

10100101010010101011101

00100011101001010100101

01110011010000101001001

10011010100000110100000

00111010010101010010101

11001101010001000011010

00000011101000100101010

10111010001000111010101

01010101010110100001001

11010010001001010111010

01010100010011010100000

00101101001001110101000

01010111010010000110101

00000001011010010001110

10100100101110100001101

01000010101011010100010

11101010000101001011101

01000101110101000101010

10111001101010001010110

100001101010001001010

Пытливый читатель, вооруженный эффективным домашним компьютером, быть может захочет проверить, используя данные в тексте предписания и применяя эту последовательность к номерам различных простых машин Тьюринга, что она и в самом деле соответствует универсальной машине Тьюринга! Некоторое уменьшение величины и может быть достигнуто за счет другого определения машины Тьюринга. Например, мы могли бы отказаться от использования команды STOP и вместо этого применять правило остановки после того, как машина повторно возвращается во внутреннее состояние 0 из какого-либо другого внутреннего состояния. Это не дало бы нам значительного выигрыша (а может, и вовсе никакого). Большую пользу принесло бы использование лент с иными, нежели только 0 и 1, отметками. В литературе встречаются описания очень компактных на вид машин Тьюринга, но эта компактность обманчива, поскольку она обусловлена чрезмерно сложным кодированием описаний машин Тьюринга вообще.

· #49

Напомним, что натуральными мы называем числа 0,1,2,3,4,5,6… Вместо обычной записи (x^?+y^? = z^?, где х, у, z > 0, ? > 2) мы используем «х + 1», «? + 3» и т. д., чтобы включить в рассмотрение все натуральные числа, начиная с нуля.

· #50

Желающие ознакомиться с вопросами, имеющими отношение к этому знаменитому утверждению и изложенными без излишних технических подробностей, могут обратиться к работе Дэвлина [1988].

· #51

Последняя теорема Ферма доказана английским математиком Эндрю Уайлсом (Andrew J. Wiles). Доказательство опубликовано в 1995 году. — Прим. ред.

· #52

Напомним, что простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… - это такие натуральные числа, которые делятся только на самих себя и на единицу. Ни нуль, ни единица простыми числами не считаются.

· #53

Это хорошо известный и очень мощный метод математического доказательства, называемый «доказательством от противного» или reductio ad absurdum (сведение к абсурду), в котором сначала полагается истинным утверждение, исключающее исходное, затем из этой предпосылки выводится противоречие, которое и служит доказательством справедливости исходного утверждения.

· #54

Фактически, самую трудную часть мы уже выполнили, когда построили универсальную машину Тьюринга U, поскольку она позволяет нам записывать Tn(n) как машину Тьюринга, действующую на n.

· #55

Мы могли бы, конечно, «обыграть» и этот модифицированный алгоритм, просто за счет повторного применения предыдущей процедуры. Тогда мы сможем использовать эти вновь полученные знания для дальнейшего улучшения алгоритма, который мы, в свою очередь, снова превзойдем; и так далее. Тип рассуждений, в который выливается этот повторяющийся процесс, будет рассмотрен нами в связи с теоремой Геделя в главе 4.

· #56

В более привычной форме эта запись имела бы вид а = b(с), но эти дополнительные скобки в действительности не нужны, поэтому лучше просто привыкнуть к их отсутствию. Их последовательное использование привело бы к довольно громоздким формулам вида

, соответственно.

· #57

См. Мандельброт [1986]. Выбранная мною конкретная последовательность коэффициентов увеличения взята из работы Пайтгена и Рихтера [1986], в которой можно познакомиться с большим количеством цветных изображений множества Мандельброта. Другие поразительные иллюстрации можно найти в книге Пайтгена и Заупе [1988].

· #58

На самом деле при счете дат имеет место некоторое отступление от этого правила, поскольку нулевой год пропускается.

· #59

Насколько мне известно, точка зрения, согласно которой для любого действительно числа должно существовать некое — пусть неэффективное и даже совершенно неопределимое в рамках заданной формальной системы (см. главу 4) — правило, позволяющее определить его n-й знак, является вполне непротиворечивой, хотя и нетрадиционной. Я сильно надеюсь на то, что этот подход действительно непротиворечив, поскольку именно этой точки зрения я сам больше всего хотел бы придерживаться!

· #60

В книге использован символ А?леф — первая буква семитских (еврейский, иврит) алфавитов http://ru.wikipedia.org/wiki/Алеф, напоминающий N латыни.

· #61

Напомним, что 10²⁰ означает число 100 000000000000000 000, то есть единицу с двадцатью нулями.

· #62

Величина е = 2,7182818285… (основание натуральных логарифмов, иррациональное число, по своему значению для математики сравнимое с числом ?) определяется как

· #63

Слово «топологический» означает, что речь идет о разделе геометрии, — иногда называемом «геометрией резиновой поверхности», — в котором расстояния не имеют никакого значения, а важны только свойства непрерывности объектов.

· #64

В оригинале — Tor’Bled-Nam. А что получится, если прочитать наоборот? — Прим. ред.

· #65

Первенство обнаружения этого множества до сих пор остается предметом споров (см. Брукс, Мательски [1981], Мандельброт [1989]), но сама возможность таких споров представляет собой дополнительное свидетельство в пользу того, что здесь мы имеем дело скорее с открытием, чем с изобретением.

· #66

Частично основанное на более ранних работах Сципионе дель Ферро и Тартальи.

· #67

Как сказал выдающийся аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес: «…знаменитый поэт в большей степени первооткрыватель, чем изобретатель…».

· #68

«Множество» означает набор предметов — физических объектов или математических абстракций, — который может рассматриваться как единое целое. В математике элементы (т. е. члены) множества часто сами являются множествами, поскольку множества могут собираться таким образом, чтобы самим формировать множества. Тем самым можно рассматривать множества множеств, множества множеств множеств и т. д.

· #69

Рассматривая множества, члены которых, в свою очередь, также являются множествами, мы должны тщательно проводить отличия между членами такого множества и членами его членов. Например, допустим, что S — это множество непустых подмножеств некоторого другого множества Т, членами которого являются один апельсин и одно яблоко. Т в таком случае имеет свойство «двойственности», тогда как S обладает свойством «тройственности»: членами S будут множества а) из одного яблока; б) из одного апельсина и в) из одного апельсина и одного яблока — представляющие три члена S. Аналогично, множество, чьим единственным членом является пустое множество, будет иметь свойство «единичности», а не «нулевости» — в него входит один член, а именно пустое множество! При этом само пустое множество не будет иметь, конечно, ни одного члена.

· #70

Можно дать занятную трактовку парадокса Рассела в более привычных терминах. Представьте себе библиотеку с двумя каталогами, один из которых перечисляет только те книги в библиотеке, которые хотя бы раз ссылаются на себя самих, а другой — остальные книги, т. е. те, которые не упоминают себя. В каком из этих каталогов, в таком случае, должен фигурировать второй каталог?

· #71

Хотя справедливость теоремы Ферма в обшем случае пока не доказана, ее справедливость для некоторых частных случаев, таких как G(0), G(l), G(2), G(3), доказана вплоть до G(125 000). Другими словами, доказано, что куб никакого числа не может быть суммой кубов двух других положительных чисел, четвертая степень числа не может быть суммой четвертых степеней других чисел и т. д. вплоть до степени 125000. (Несколько лет назад теорема Ферма была доказана в обшем виде. См. гл. 2 «Неразрешимость проблемы Гильберта» примечание 51 — Прим. верст. fb2)

· #72

Мы можем представить себе лексиграфический способ упорядочивания как обычный способ, используемый для натуральных чисел, только сделанный «по основанию k + 1», где для k + 1 чисел берутся различные символы формальной системы, вместе с новым «нулем», который никогда не используется. (Последняя сложность возникает в связи с тем, что числа, начинающиеся с нуля, и те, где он опущен — равны.) Простое лексикографическое упорядочивание в строчках из девяти символов осуществляется при помощи натуральных чисел, которые могут быть выписаны в стандартной десятичной системе без нуля: 1,2, 3,4…,8,9, 11, 12 19,21,22 99, 111, 112…

· #73

В действительности ход рассуждений в теореме Геделя может быть представлен таким образом, чтобы не зависеть от полностью привнесенного извне понятия «истины» для утверждений, подобных P_k(k). Однако, он по-прежнему будет зависеть от интерпретации фактического «значения» некоторых символов: в частности, «~ E_к.с.» должно означать «не существует (натурального числа)…такого, что…».

· #74

В нижеследующем прописные буквы будут представлять натуральные числа, а заглавные — конечные множества натуральных чисел. Пусть m ? [n, k, r] представляет такое утверждение: «Если X = {0,1…., m}, каждое из подмножеств которого длиной в k элементов приписано к r ящикам, то существует „большое“ подмножество Y, принадлежащее X и имеющее по крайней мере n элементов, такое, что все подмножества Y из k элементов попадут в один ящик». Здесь «большое» означает, что число элементов, входящих в Y, больше самого маленького из натуральных чисел, принадлежащих Y. Рассмотрим теперь следующее утверждение: «При любых k, r, n существует m₀ такое, что при m > m₀ утверждение m ? [n, k, r] всегда справедливо». Дж. Парисом и Л. Харрингтоном [1977] было доказано, что это положение эквивалентно геделевскому утверждению для стандартных (введенных Пеано) аксиом арифметики, которое не выводится из этих аксиом и которое позволяет делать утверждения о тех аксиомах, которые «очевидно верны» (в данном случае оно говорит, например, о том, что утверждения, выведенные из аксиом, сами будут справедливыми).

· #75

Статья называлась «Система логики, основанная на порядковых числах», и некоторые читатели будут уже знакомы со способом записи Канторовых порядковых чисел, который я применял для субиндексов. Иерархия логических систем, которые получаются с помощью приведенной мной процедуры, описывается с помощью вычислимых порядковых чисел.

Есть несколько довольно естественных и легко формулируемых математических теорем, которые, если их пытаться доказать путем использования стандартных (введенных Пеано) правил арифметики, привели бы к «гипертрофированной» геделевской процедуре (по числу шагов многократно превосходящей ту, что я описал ранее). Математические доказательства этих теорем по природе своей не зависят от туманных и сомнительных рассуждений, выходящих за рамки аппарата нормального математического доказательства (см. Сморински [1983]).

· #76

Делается различие между «множествами» и «Классами», где «множества» могут быть собраны вместе для образования других множеств или классов; а классы не могут образовывать сколько-нибудь более крупные объединения, будучи для этого «слишком большими». Однако не существует правила, согласно которому можно было бы решать, какие объединения могут рассматриваться как множества, а какие с необходимостью должны быть только классами — если не считать «порочно» замкнутое правило, гласящее, что множествами являются те объединения, которые можно составлять вместе, чтобы получать новые объединения!

· #77

Континуум-гипотеза, которая упоминалась в главе 3, (конец подглавы «Сколько же всего действительных чисел?», и из которой следует, что С = N₁ ), является наиболее «экстремальным» математическим утверждением, которое здесь встречается (хотя часто рассматриваются и куда более «экстремальные» рассуждения). Континуум-гипотеза интересна еще и потому, что сам Гедель, совместно с Полом Дж. Коэном, показал, что эта гипотеза в действительности не зависит от стандартных аксиом и правил теории множеств. Таким образом, отношение любого математика к континуум-гипотезе позволяет причислить его к сторонникам либо формалистской, либо платонистской точки зрения. Для формалиста данная гипотеза будет «недоказуемой», поскольку ее справедливость не может быть установлена или опровергнута, если опираться на стандартную (построенную Цермело и Френкелем) формальную систему, и, значит, не «имеет смысла» называть ее ни «истинной», ни «ложной». Однако, для убежденного платониста эта гипотеза является либо истинной, либо ложной, хотя какой именно — это можно установить только путем рассуждений некоторого нового типа, идущих еще дальше, чем использование геделевских утверждений для формальной системы Цермело — Френкеля. (Коэн [1966] сам предложил принцип рефлексии, который позволяет показать, что континуум-гипотеза — «с очевидностью ложна»!)

· #78

Живое и не слишком насыщенное техническими деталями изложение этой темы можно найти у Ракера [1984].

· #79

Интуиционизм был назван так потому, что ему предназначалось служить отражением человеческой мысли.

· #80

Сам Брауэр начал размышлять в этом направлении, в частности, потому, что очень придирчиво и болезненно относился к «неконструктивности» доказательства своей теоремы из области топологии, «теоремы Брауэра о неподвижной точке». Эта теорема утверждает, что, если вы возьмете круг — то есть окружность вместе со всеми точками внутри нее — и будете непрерывно двигать его внутри области, где он находился изначально, то найдется по крайней мере одна точка круга, — называемая неподвижной точкой, — которая окажется точно там же, откуда она начала движение. Не ясно, где именно располагается эта точка, и может ли их быть несколько — теорема говорит только о существовании такой точки. (Среди математических теорем существования, эта, на самом деле, носит довольно «конструктивный» характер. Примеры теорем существования более высокой степени неконструктивности ? это теоремы, зависящие от так называемой «аксиомы выбора» или «леммы Цорна» (см. Коэн [1966], Ракер [1984]).) Трудность в случае Брауэра была аналогична той, что возникает в следующей задаче: найти точки, в которых f обращается в нуль, если известно, что f — действительная непрерывная функция действительной переменной, которая принимает как положительные, так и отрицательные значения. Стандартная процедура заключается в последовательном делении пополам отрезка, на котором функция меняет свой знак; но решение о том, какое именно промежуточное значение принимает функция (положительное, отрицательное или нулевое), может оказаться неконструктивным в том смысле, которого требует Брауэр.

· #81

Вообще говоря, для нас является существенным, чтобы такие неудачные варианты могли реализоваться, тем самым гарантируя нам потенциальную возможность описывать любую алгоритмическую операцию. Вспомните, что для описания машин Тьюринга в общем мы должны допустить существование, в частности, машин, которые никогда не останавливаются.

· #82

''Доказательство могло бы, в действительности, состоять из последовательности шагов, которые отражали бы действие машины, продолжающееся до ее остановки. Доказательство завершалось бы, как только машина остановится.

· #83

Мы нумеруем множества {v, ?, x….,z], где v представляет функцию f в согласии с некоторой лексикографической схемой. Мы (рекурсивно) проверяем на каждом этапе справедливость равенства f (?, x…,z) = 0 и оставляем утверждение E_к.с.?, х…., z[(?, х…., z) = 0] только в том случае, если это равенство выполняется.

· #84

Последняя теорема Ферма доказана английским математиком Эндрю Уайлсом (Andrew J. Wiles). Доказательство опубликовано в 1995 году. — Прим. ред.

· #85

Недавно я узнал от Леоноры Блюм, что (заинтересовавшись моими комментариями в первом издании этой книги) она установила, что множество Мандельброта (и его дополнение) на самом деле являются, как я и предполагал, нерекурсивными в том смысле, который описан в десятом примечании.

· #86

Блюмом, Шубом и Смэйлом [1989] была разработана новая теория вычислимости для действительных функций от действительных переменных (в отличие от общепринятых функций натуральных чисел, принимающих натуральные значения), подробности которой я узнал лишь совсем недавно. Эта теория применима и к комплексным функциям, а кроме того, может сыграть заметную роль в упомянутых мной вопросах.

· #87

Это дает (отрицательный) ответ на десятую проблему Гильберта, упомянутую на с. 44 (см., например, Дэвлин [1988]). Здесь количество переменных неограниченно. Однако, известно, что для выполнения свойства неалгоритмичности достаточно и девяти.

· #88

Эта конкретная задача называется (если быть более точным) «задачей со словами для полугрупп». Существуют также и другие разновидности этой задачи, в которых действуют несколько отличные правила. Но нас это сейчас волновать не должно.

· #89

В действительности Хао Ванг занимался несколько иной проблемой — с квадратными «плитками», не вращаемыми и с совпадающими по цвету сторонами, — но эти особенности для нас здесь не важны.

· #90

Более того, Ханф [1974] и Майерс [1974] показали, что существует отдельное множество (из большого числа «плиток»), которое покрывает плоскость только невычислимым образом.

· #91

Понятие «полиномиальный» применяется на самом деле к выражениям более общего вида, скажем, 7n⁴ — Зn³ + 6n + 15, но это никак не изменит общности наших рассуждений. В любом таком выражении все члены младших степеней n теряют значимость по мере увеличения n (так что в данном примере можно игнорировать все слагаемые, кроме 7n⁴).

· #92

В действительности, путем применения некоторых тонких ходов, можно сократить число шагов до величины порядка n log n log (log n) для больших n — которая, конечно, все еще принадлежит Р. За подробностями я отсылаю читателя к Кнуту [1981].

· #93

Если быть точным, классы Р, NP и NP-полный (см. «Теория сложности») определены только для задач типа «да или нет» (скажем, когда заданы a, b, c и спрашивается, выполняется ли для них а х b = c); но описания, приведенные в тексте, вполне подходят для наших целей.

· #94

Строго говоря, нам нужно переформулировать эту задачу под ответ «да или нет», например: существует ли маршрут для коммивояжера, длина которого меньше чем столько-то? (См. предыдущее примечание.)

· #95

Поразительно, что все установленные отклонения от ньютоновской картины связаны фундаментальным образом с поведением света. Во-первых, это существование бестелесных полей, переносящих энергию, которые описываются электромагнитной теорией Максвелла. Во-вторых, как мы увидим, скорость света играет решающую роль в специальной теории относительности Эйнштейна. В-третьих, незначительные отклонения от ньютоновской теории гравитации, о которых нам говорит эйнштейновская общая теория относительности, становятся существенными только при скоростях, сравнимых со скоростью света. (Отклонение света вблизи Солнца, движение Меркурия, скорости убегания, сравнимые со скоростью убегания света для черных дыр, и т. д.) В-четвертых, дуализм волна-частица в квантовой теории впервые был обнаружен в поведении света. Наконец, нельзя не упомянуть о квантовой электродинамике — квантовой полевой теории света и заряженных частиц. Можно легко представить себе, что сам Ньютон с готовностью согласился бы признать, что фундаментальные проблемы его картины мира кроются в загадочном поведении света (см. Ньютон [1730], а также Пенроуз [1987а]).

· #96

Но только почти: точность, которая требуется при управлении полетом спутника или космического зонда, такова, что для расчета его орбиты нужно принимать во внимание эффекты искривления пространства-времени, описываемые обшей теорией относительности. И то же самое справедливо в отношении особо прецизионных устройств, способных установить местоположение заданного объекта на земной поверхности с точностью до долей метра.

· #97

Существует популярная в настоящее время точка зрения, называемая «инфляционным сценарием», которая призвана объяснить, почему вселенная, помимо всего прочего, является однородной на очень больших масштабах. Согласно этой теории, вселенная на очень ранних стадиях испытала гигантское расширение — намного превосходящее по своим масштабам «обычное» расширение стандартного сценария. Идея заключается в том, что любые нерегулярности сглаживаются в результате такого расширения. Однако, инфляция не работает без наложения еще более жестких начальных ограничений, чем те, которые уже даются гипотезой о вейлевской кривизне. Она не вводит в теорию никакой асимметричной во времени составляющей, которая дала бы возможность объяснить различие между начальной и конечной сингулярностью. (Более того, она опирается на физические теории — теории великого объединения — чей статус не более, чем ПРОБНЫЙ, по терминологии главы 5. Для более подробного знакомства с критическим анализом «инфляции», в контексте идей, изложенных в этой главе, см. Пенроуз [19896].)

· #98

В оригинале игра слов: phenomen — явление, phenomenal — феноменальный. — Прим. ред.

· #99

Популярное изложение квантовой электродинамики см. в книге Фейнмана КЭД [1985].

· #100

Имеется в ввду так называемая «стандартная модель» Большого взрыва. Существует много вариантов теории Большого взрыва, наиболее известный из которых носит имя «инфляционный сценарий». По моему твердому убеждению, инфляционный сценарий относится к категории ПРОБНЫХ теорий.

· #101

Существует величественная область давно устоявшегося физического знания, а именно — термодинамика Карно, Максвелла, Кельвина, Больцмана и других ученых, которую я не собираюсь здесь классифицировать. Мое решение может показаться некоторым из читателей странным, но я поступаю так умышленно. По причинам, которые, возможно, станут яснее в главе 7, я не испытывал ни малейшего желания заносить термодинамику в том виде, какой она имеет в настоящее время, в категорию истинно ПРЕВОСХОДНЫХ теорий. Но многие физики, вероятно, сочли бы кощунством, осмелься я назвать это великолепное собрание таких красивых фундаментальных идей унизительным термином ПОЛЕЗНЫЕ! Я считаю, что термодинамика в ее обычном понимании — как дисциплины, оперирующей только средними величинами и ничего не говорящая о поведении отдельных компонентов системы; науки, отчасти сочетающей в себе следствия из других теорий, — не является в полном смысле физической теорией (конечно, с моей точки зрения, которую я распространяю и на математический базис статистической механики). Пользуясь случаем, я все же приношу читателям извинения за то, что оставил в стороне эту проблему и предпочел оставить вопрос классификации в стороне. Далее в главе 7 я высказываю уверенность в том, что между термодинамикой и теми идеями, которые относятся к модели Большого взрыва и которые я ранее охарактеризовал как ПОЛЕЗНЫЕ, существует тесная взаимосвязь. Убежден, что в результате правильного объединения этих двух теорий (пока еще, увы, не реализованного), должна возникнуть новая теория, которую с полным основанием можно будет отнести к категории ПРЕВОСХОДНЫХ. К этому вопросу нам еще придется вернуться в дальнейшем.

· #102

Мои коллеги спросили меня, в какую категорию я поместил бы «теорию твисторов» — глубоко разработанный круг идей и процедур, с которыми я был связан на протяжении долгих лет. Поскольку она представляет собой альтернативную теорию окружающего мира, ее нельзя охарактеризовать иначе, как ПРОБНУЮ; но, по большому счету, она является просто способом математической записи давно созданных физических теорий.

· #103

Николай Иванович Лобачевский 1792–1856) один из нескольких математиков, независимо друг от друга открывших этот тип геометрии (альтернативный геометрии Евклида). Имена остальных: Карл Фридрих Гаусс 1777–1855), Фердинанд Швейкард и Янош Бойяи.

· #104

Евдокс был также создателем ПОЛЕЗНОЙ теории движения планет, просуществовавшей 2000 лет, развитой позднее Гиппархом и Птолемеем и потому впоследствии получившей название птолемеевой системы!

· #105

В современных обозначениях это утверждение означает, что существует дробь, а именно M/N, такая, что а/b > M/N > c/d. Такая дробь, лежащая между действительными числами а/b и c/d при условии, что а/b > c/d, может быть найдена всегда, поэтому критерий Евдокса действительно выполняется.

· #106

Но, по-видимому, Галилей часто использовал в своих наблюдениях водяные часы для измерения времени (см. Барба [1989]).

· #107

Строго говоря, сказанное относится к движению Земли лишь постольку, поскольку его можно считать приближенно равномерным и, в частности, без вращения. Действительно, вращательное движение Земли создает (относительно малые) динамические эффекты, которые могут быть обнаружены. Самые заметные из такого рода эффектов — отклонение ветров в северном и южном полушариях в различные стороны. Галилей полагал, что такая неравномерность «ответственна» за приливы.

· #108

Различие между электрическим и магнитным взаимодействиями состоит в том, что индивидуальные «магнитные заряды» (т. е. северные и южные полюсы), по-видимому, не существуют в природе отдельно друг от друга. Магнитные частицы образуют так называемые «диполи», т. е. крохотные магнитики (в которых северный и южный полюсы как бы сливаются вместе).

· #109

Эту модель связывают с именем Ньютона, но, как и в случае с «ньютоновской» механикой в целом, это — всего лишь удобный ярлык. Собственные взгляды Ньютона на истинную природу физического мира, по-видимому, отличались куда меньшим догматизмом и куда большей гибкостью. (Наиболее ярым сторонником «ньютоновской» модели, как представляется, был Р. Г. Бошкович A711-1787).)

· #110

Рафаил Соркин разъяснил мне, что в некотором смысле эволюция этой конкретной игрушечной модели может быть сделана «вычислимой» в целом таким же способом, как (скажем) ньютоновские системы. Рассмотрим последовательность вычислений С₁, C₂, С₃…, которые позволят нам рассчитывать поведение нашей системы в (неограниченном) будущем со все возрастающей точностью(см. с.146). В данном случае мы можем предположить, что С_n определяется при помощи машины Тьюринга, которая выполняет действие Т _u(m) в течение N шагов, и положить Т _u(m) = ?, если она не остановилась на N-ом шаге. Однако, было бы нетрудно модифицировать нашу игрушечную модель таким образом, чтобы провалить подобные «вычисления» — для этого достаточно рассмотреть эволюцию, где выражение Т_u(т) = ? заменено на дважды квантифицированные утверждения вроде «T(q) останавливается при всех q». (Нерешенная задача, связанная с наличием бесконечного множества пар простых чисел, отличающихся на «2», может служить примером такого утверждения.)

· #111

В главе 4 «Является ли множество Мандельброта рекурсивным?»(примечание 86) высказывалось предположение о том, что теория Блюма — Шуба — Смэйла [1989], вероятно, даст возможность решить некоторые из этих вопросов в математически более приемлемом виде.

· #112

Уравнения, написанные Гамильтоном, — хотя, возможно, не вполне отражавшие его собственную точку зрения — были известны великому итало-французскому математику Жозефу Л.Лагранжу A736-1813) еще за 24 года до Гамильтона. Не менее важным достижением стала примерно в то же время формулировка механики в форме уравнений Эйлера — Лагранжа, согласно которым законы Ньютона можно рассматривать как производные одного основополагающего принципа — принципа стационарного действия (П. Л. М. де Мопертюи.) Обладая огромным теоретическим значением, уравнения Эйлера — Лагранжа имеют к тому же и немалую практическую ценность как мощный инструмент для вычислений.

· #113

В действительности, ситуация еще более «осложняется» в результате того, что лиувиллевский объем в фазовом пространстве — всего лишь один из целого семейства «объемов» различного числа измерений (называемых инвариантами Пуанкаре), которые остаются постоянными в ходе эволюции системы, описываемой уравнениями Гамильтона. Однако я был немного несправедлив в оценке всеобщности моих утверждений. Можно представить себе систему, в которой физические степени свободы (дающие вклад в какой-то из объемов фазового пространства) могут быть «заброшены» за пределы области наших интересы (например, они могут относиться к излучению, уходящему на бесконечность), так что объем той части фазового пространства, которую мы непосредственно изучаем, мог бы, на самом деле, уменьшиться.

· #114

Этот второй факт следует считать исключительной удачей для науки, ибо без него динамическое поведение больших тел могло бы остаться непостижимым и никак не указывало бы на конкретный вид тех законов, которые управляют поведением отдельных частиц. Как мне кажется, Ньютон столь упорно настаивал на своем третьем законе в том числе и потому, что без третьего закона динамическое поведение было бы просто невозможно перенести с микроскопического уровня на макроскопический. Наряду с этим, не менее важное значение для развития естествознания имело еще одно «чудесное» совпадение, касающееся закона обратных квадратов: оказалось, что этот закон — единственный из всех степенных законов (описывающих убывающие с расстоянием силы) для которого орбиты движения вокруг центрального тела в общем случае имеют простую геометрическую форму. Что делал бы Кеплер, если бы сила всемирного тяготения была бы обратно пропорциональна не квадрату, а кубу расстояния?

· #115

Я выбрал единицы для различных полей так, чтобы они находились в хорошем согласии с той формой, в которой Максвелл первоначально записывал свои уравнения (за исключением того, что его плотность заряда в моих обозначениях выглядела бы как с^-2?). При другом выборе единиц множители, содержащие с, были бы распределены иначе.

· #116

Именно введение ?B /?t в это уравнение было мастерским штрихом в теоретических рассуждениях Максвелла. Все остальные члены во всех уравнениях, по существу, были известны из опытных данных. Что же касается коэффициента 1/с², то он очень мал и поэтому член с ?B /?t не мог быть обнаружен экспериментально.

· #117

Действительно, мы имеем бесконечно много х_i  и p_i, но еще одно осложнение возникает в связи с тем, что мы не можем использовать непосредственно значения полей в этих координатах, поэтому для поля Максвелла нам необходимо ввести определенные «потенциалы», чтобы к нему можно было применить гамильтонову схему.

· #118

Волновое уравнение (уравнение Даламбера) представимо в виде

· #119

Т. е. не имеющие второй производной.

· #120

Уравнение Лоренца определяет силу, действующую на заряженную частицу со стороны электромагнитного поля, в котором та находится. Таким образом, если масса частицы известна, то второй закон Ньютона позволяет нам найти ускорение частицы. Но заряженные частицы часто движутся со скоростями, близкими к скорости света, так что начинают сказываться эффекты специальной теории относительности, для которых выбор массы частицы (см. следующий раздел) становится уже существенным. Именно по этой причине открытие правильного закона для силы, действующей на заряженную частицу, стало возможным только после появления на свет СТО.

· #121

Причина, по которой пространственные координаты мы делим на с (скорость света), проста: это делается для того, чтобы мировые линии фотонов были наклонены под удобным углом 45° к вертикали (см. текст далее).

· #122

Действительно, в некотором смысле, любая квантовомеханическая частица, встречающаяся в природе, сама по себе является часами. Как мы узнаем из главы 6, с любой квантовой частицей связано свое колебание, частота которого пропорциональна массе частицы (см. гл. 6 «Начало квантовой теории»). Именно этот эффект позволил создать точнейшие современные (атомные и ядерные) часы.

· #123

Тем не менее для событий, разделенных отрицательными значениями s², величина с²?-s² имеет смысл, равняясь обычному расстоянию до того наблюдателя, которому события кажутся одновременными (см. далее).

· #124

«Излом» на мировой линии путешественника в точке В мог бы вызвать беспокойство у читателя: судя по картинке, путешественник в этой точке должен испытывать бесконечно большое ускорение. Но это несущественно. При конечном ускорении мировая линия путешественника будет иметь в точке В просто закругленный, или сглаженный изгиб, который очень слабо скажется на полном времени, которое путешественник проживает, и которое по-прежнему измеряется «длиной» (в смысле Минковского) всей его мировой линии.

· #125

С точки зрения наблюдателя М, эти пространства событий одновременны в смысле эйнштейновского определения одновременности, которое использует световые сигналы, посылаемые наблюдателем М и отражающиеся обратно к М из рассматриваемых точек пространства-времени. См., например, Риндлер [1982].

· #126

Это начальное значение второй производной по времени (или «ускорение») от формы. Быстрота изменения (или «скорость») формы первоначально считается равной нулю, так как сфера сначала находится в состоянии покоя.

· #127

Математическое описание этой переформулировки ньютоновской теории впервые было выполнено замечательным французским математиком Эли Картаном [1923], которое, разумеется, последовало после открытия общей теории относительности Эйнштейна.

· #128

Искривленные пространства — в том числе и многомерные — являющиеся в этом смысле локально евклидовыми, называются римановыми многообразиями в честь великого Бернгарда Римана A826-1866), который первым исследовал такие пространства, опираясь в своих изысканиях на раннюю работу Гаусса, посвященную двумерному случаю. Здесь нам понадобится существенно модифицировать идеи Римана, вводя допущение о возможности замены локально евклидовой геометрии на геометрию Минковского. Такие пространства часто принято называть лоренцевыми многообразиями (принадлежащими к классу так называемых псевдоримановых, или, что менее логично, полуримановых многообразий).

· #129

Возможно, у читателя может возникнуть беспокойство по поводу того, каким образом это нулевое значение может быть максимальным значением «длины»! Но это именно так, хотя и в несколько бессодержательном смысле: геодезическая линия нулевой длины характеризуется тем, что не существует мировых линий других частиц, соединяющих (локально) любые две ее точки.

· #130

В действительности, это деление на эффекты деформации и изменения объема носит не настолько четкий характер, как я пытаюсь это изобразить. Тензор Риччи сам может дать определенный вклад в приливную деформацию. (Для световых лучей такое деление проводится однозначно; см. Пенроуз, Риндлер [1986], т. 2, глава 7.) Точное определение тензоров Вейля и Риччи см., например, в книге Пенроуза и Риндлера [1984], т. 1. (Герман Вейль (род. в Германии) был выдающимся математиком XX века, а Грегорио Риччи (род. в Италии) — весьма влиятельным геометром, создавшим также теорию тензоров.)

· #131

Правильная форма уравнений общей теории относительности была также найдена и Давидом Гильбертом (в ноябре 1915 года), однако все физические идеи, нашедшие отражение в этой теории, принадлежат исключительно Эйнштейну.

· #132

Для тех, кто разбирается в подобных вопросах, эти дифференциальные уравнения представляют собой полные тождества Бьянки, в которые подставлены уравнения Эйнштейна.

· #133

Существуют определенные (не очень убедительные) пути для обхода этого затруднения (см. Уилер, Фейнман [1945]).

· #134

Технически термин «гиперповерхность» более точен, чем «поверхность», так как объект не двумерен, а трехмерен.

· #135

Можно заметить, что волновое уравнение (см. примечание 118 гл.5 «Вычислимость и волновое уравнение»), как и уравнение Максвелла, также является релятивистским уравнением. Таким образом, «феномен невычислимости» Пур-Эля — Ричардса, рассмотренный нами ранее, тоже зависит только от начальных данных в ограниченных областях пространства S.

· #136

Строгие теоремы на этот счет были бы очень полезны и интересны. Но пока их нет.

· #137

В ньютоновской теории кинетическая энергия частицы равна 1/2mv², где m — масса, v — скорость частицы; но в специальной теории относительности выражение для кинетической энергии выглядит несколько сложнее.

· #138

Невычислимый в рамках современной теории — которая дает (предварительно) достаточно бесполезный ответ: бесконечный!

· #139

Я считаю само собой разумеющимся, что любая «серьезная» философская точка зрения должна содержать по крайней мере изрядную долю реализма. У меня всегда вызывает удивление, когда я узнаю о серьезных мыслителях — нередко физиках, рассматривающих следствия, к которым приводит квантовая механика, — которые занимают сильно субъективную точку зрения, согласно которой в действительности никакого реального мира — «там, вовне» — вообще нет! То, что я придерживаюсь где только возможно реалистической линии, отнюдь не означает, что мне неизвестно о том, с какой серьезностью отстаиваются подобные субъективные взгляды, — но я просто не могу придать им смысл. Тех, кто желает ознакомится с мошной и занимательной атакой на субъективизм такого рода, я приглашаю читать книгу Гарднера [1983],глава 1.

· #140

В частности, Дж. Дж. Бальмер отметил в 1895 году, что частоты спектральных линий водорода удовлетворяют формуле R(n^-2 — m^-2), где n и m — положительные целые числа (R — постоянная).

· #141

Возможно, нам не следовало бы слишком легко отказываться от этой «чисто полевой» картины. Эйнштейн, который (как мы увидим в дальнейшем) глубоко сознавал дискретный характер квантовых частиц, провел последние тридцать лет своей жизни, пытаясь построить более общую теорию такого классического типа. Но попытки Эйнштейна, как и все прочие попытки, оказались тщетными. По-видимому, для объяснения дискретной природы частиц необходимо что-то еще помимо классического поля.

· #142

Это наблюдение необходимо произвести так, чтобы не помешать прохождению частицы через щель t. Этого можно было бы достичь, разместив детекторы в другом месте — рядом с щелью s. Тогда можно будет делать заключение о прохождении частицы через щель t, когда эти детекторы не срабатывают!

· #143

Здесь возникает техническая трудность, так как настоящая вероятность найти частицу строго в данной точке была бы равна нулю. Поэтому величину

|?(x)|² мы предпочитаем называть плотностью вероятности. Это означает, что на самом деле нам нужна вероятность найти частицу в некотором малом интервале фиксированных размеров. Таким образом, ?(х) определяет плотность амплитуды, а не просто амплитуду.

· #144

На стандартном аналитическом языке любая из наших штопорообразных винтовых линий (т. е. любое импульсное состояние) задается формулой

? = e^ipx/h = cos(ipx/h) + isin(ipx/h),

где р — рассматривемое значение импульса z. (см. главу 3)

· #145

Эти две эволюционные процедуры были описаны в классическом труде выдающегося американского математика венгерского происхождения Джона (Яноша) фон Неймана [1955]. Его «процесс 1» — то, что я назвал R-процедурой — «редукцией вектора состояния», а его «процесс 2» — то, что я назвал U-процедурой — «унитарной эволюцией» (унитарность означает, что амплитуды вероятности в ходе эволюции сохраняются). На самом деле существуют и другие (хотя и эквивалентные) описания эволюции U квантового состояния, в которых не используется термин «уравнение Шредингера». Например, в «картине Гейзенберга» состояние описывается таким образом, что кажется, будто оно вообще не эволюционирует; динамическая эволюция понимается как непрерывный сдвиг смысла координат положения/импульса. Разные отличия этих картин для нас сейчас несущественны, так как описания процесса U полностью эквивалентны.

· #146

В более обычном квантовомеханическом описании эту сумму следовало бы разделить на нормирующий множитель, равный ?2, т. е. взять сумму (?_t + ?b) ? ?2, но усложнять таким образом описание сейчас нет необходимости.

· #147

Это важное понятие бесконечномерного пространства, с которым нам уже приходилось встречаться в предыдущих главах, ввел Давид Гильберт задолго до открытия квантовой механики и для совершенно других математических целей!

· #148

Для полноты следовало бы также привести все требуемые алгебраические правила, записанные в используемых в тексте обозначениях (Дирака),

· #149

Угловые скобки, использованные в книге,

, заменены на круглые

|x|, |?), |1), |2), |3), |n), |?), |?),|?),|?) — за отсутствием в «таблице символов». В элементах изображений (при ипользовании картинок), соответственно, осталось все как есть. Надеюсь, путанницы не возникнет. — Прим верст. fb2

· #е в150

Не исключается также и случай, когда эта комбинация представляет собой бесконечную сумму векторов. Полное определение гильбертова пространства (которое, на мой взгляд, слишком формально для того, чтобы здесь вдаваться в его подробности) включает в себя правила, позволяющие оперировать с такими бесконечными суммами.

· #151

Существует важная операция, называемая скалярным произведением (или внутренним произведением) двух векторов, которая может быть использована для того, чтобы очень просто выразить такие понятия, как «единичный вектор», «ортогональность» и «амплитуда вероятности». (В обычной векторной алгебре скалярное произведение равно ab cos v, где а и b — длины векторов, a v — угол между их направлениями.) Скалярное произведение векторов из гильбертова пространства дает комплексное число. Скалярное произведение двух векторов состояния |?) и |X) записывается в виде |?|X). Для него справедливы алгебраические правила

,

где черта сверху означает комплексное сопряжение. Числом, комплексно сопряженным с z = х + iy, называется

, где х и у — действительные числа; обратите внимание на то, что

.

Ортогональность векторов состояния |?) и |X) записывается в виде соотношения

Квадрат длины вектора состояния |?) есть величина

поэтому нормировки |?) к единичному вектору представимо в виде

Если «акт измерения» вызывает скачкообразный переход состояния |?) либо в состояние |X), либо во что-то, ортогональное |X), то амплитуда этого скачкообразного перехода в состояние |X) равна (X|?) в предположении, что |?) и |X) нормированы. Без нормировки вероятность скачкообразного перехода из |?) в |X) можно представить в виде

 (См. Дирак [1947].)

· #152

Для тех, кто знаком с операторным формализмом квантовой механики, это измерение (в обозначениях Дирака) определяется ограниченным эрмитовым оператором |X)(X|. Собственное значение 1 (для нормированного |X)) означает ДА, а собственное значение 0 — НЕТ. (Векторы (X|, |?) и т. д. принадлежат гильбертову пространству, дуальному к исходному.) См. фон Нейман [1955], Дирак [1947].

· #153

От английского spin — «вращение». — Прим. ред.

· #154

В предыдущем описании квантовой системы, состоящей из одной частицы, я прибег к сверхупрощению, проигнорировав спин и предположив, что состояние может быть описано заданием одного лишь пространственного положения. Действительно, существуют некоторые частицы, называемые скалярными, их примерами могут служить ядерные частицы, известные под названием пионов(?-мезоны, см. гл.5 «Масса, материя и реальность»), или некоторые атомы, для которых спин оказывается равным нулю. Для таких (и только для таких) частиц приведенное выше описание в терминах одного лишь пространственного положения действительно будет достаточным.

· #155

Здесь и выше я предпочел не загромождать формулы множителями типа 1/?2, которые нужны, если мы требуем, чтобы векторы |?) и |?) были нормированными.

· #156

 комплексно сопряженные чисел ? и z. (см. прим.151)

· #157

Существует стандартная экспериментальная установка, известная как прибор Штерна-Герлаха, которую можно использовать для измерения спинов атомов. Атомы выпускаются в пучок, который проходит в сильно неоднородном магнитном поле, направление неоднородности которого задает направление, в котором производится измерение спина. Пучок расщепляется на два (для атома со спином 1/2 или на большее число частей — для атома с бо?льшим спином), один пучок дает атомы с ответом ДА на измерение спина, а другой — атомы с ответом НЕТ на измерение спина. К сожалению, по некоторым техническим причинам, не имеющим отношения к интересующим нас вопросам, такой прибор не может быть использован для измерения спина электрона, и поэтому приходится прибегать к косвенной процедуре (см. Мотт, Мэсси [1965]). По этой и по другим причинам я предпочитаю не вдаваться в подробности относительно того, как в Действительности измеряют спин электрона.

· #158

Пытливый читатель может самостоятельно проверить геометрию, приведенную в тексте. Проще всего, если мы сориентируем сферу Римана так, чтобы ?-направление было направлением «вверх», а ?-направление лежало в плоскости, натянутой на направления «вверх» и «вправо», т. е. задаваемой параметром q =tg(v/2) на сфере Римана, а затем воспользуемся формулой

для вероятности перехода скачком из |?) в (X|. (См. прим. 151.)

· #159

Эта объективность является характерной особенностью нашего подхода, если мы всерьез принимаем стандартный квантовомеханический формализм. При нестандартном подходе система могла бы в действительности заранее «знать» результат, выдаваемый в ответ на любое измерение. Это привело бы нас к другой и, очевидно, объективной картине физической реальности.

· #160

Комплексное число — р подходит так же хорошо, как и р, в качестве квадратного корня из q, и дает тот же самый эллипс поляризации. Квадратный корень обусловлен тем, что фотон — безмассовая частица со спином, равным единице, т. е. вдвое бо?льшим фундаментальной единицы ?/2. Для гравитона (еще не открытого кванта гравитации) спин равен двум, т. е. вчетверо бо?льше фундаментальной единицы, поэтому нам в приведенном выше описании понадобился бы корень четвертой степени из q.

· #161

Точнее, угловой момент описывается комплексными линейными комбинациями таких наборов из различного числа точек, так как суперпозиции могут включать несколько различных значений полного спинов — в случае какой-нибудь сложной системы. Все это приводит к картине, еще менее похожей на картину классического углового момента!

· #162

Математически можно сказать, что пространство двухчастичных состояний есть тензорное произведение пространства состояний первой частицы и пространства состояний второй частицы. Таким образом |X)|?), есть тензорное произведение состояний |X) и |?)

· #163

Блестящий австрийский физик Вольфганг Паули, сыгравший выдающуюся роль в развитии квантовой механики, выдвинул свой принцип запрета в 1925 году в качестве гипотезы. Полная квантовомеханическая теория того, что мы ныне называем «фермионами», была разработана в 1926 году выдающимся физиком Энрико Ферми и великим Полем Дираком, с которым мы уже несколько раз встречались по ходу изложения. Статистическое поведение фермионов соответствует «статистике Ферми — Дирака» (отличной от «статистики Больцмана» — классической статистики различимых частиц). «Статистика Бозе — Эйнштейна» бозонов была разработана для рассмотрения фотонов замечательным индийским физиком Шатьендранатом Бозе и Альбертом Эйнштейном в 1924 году.

· #164

Это настолько замечательный и важный результат, что стоит изложить еще один его вариант. Предположим, что существуют всего лишь две настройки для E-измерителя: вверх [?] и вправо [?], и две настройки для Р-измерителя — под углом 45° к направлению вправо вверх

и под углом 45° к направлению вправо вниз.

Предположим, что реальные настройки для Е- и Р-измерителей — соответственно [?] и

Тогда вероятность того, что Е- и Р-измерения дадут согласующиеся результаты, равна (1/2)(1+cos135°) = 0,146…, что чуть меньше 15%. Длинная последовательность экспериментов при таких настройках, например,

Е: ДННДНДДДНДДННДННННДДН…

Р: НДДНННДНДННДДНДДНДННД…

даст нам согласие лишь немного меньше 15%. Предположим теперь, что на Р-измерения никак не влияет E-настройка — т. е. что если E-настройка была бы [?], а не [?], то исходы Р-измерений были бы такими же, а так как угол между [?] и

такой же, как между [?] и

,

то вероятность согласия между исходами P-измерений и новых Е-измерений (обозначим их, например, E'-измерениями) по-прежнему была бы лишь немного меньше 15%. С другой стороны, если E-настройка была бы [?], как прежде, а Р-настройка была бы

а не

то серия Е-результатов осталась бы такой же, как прежде, а новая серия Р-результатов, которую мы обозначим, например, Р', была бы в согласии лишь немногим меньше 15% с исходной серией Е-результатов. Отсюда следует, что согласие между Р'-измерением и Е' — измерением могло бы быть не выше 45% (=15% +15% +15%), если бы эти измерения производились бы, соответственно, при настройках

и [?]. Но угол между

и [?] равен 135°, а не 45°, поэтому вероятность согласия должна была бы быть чуть больше 85%, а не 45%. Это — противоречие, показывающее, что допущение, согласно которому выбор измерения, произведенного Е-измерителем, не может влиять на результаты Р-измерений (и наоборот) должно быть ложно! За этот пример я признателен Дэвиду Мермину. Вариант, приведенный в тексте, заимствован из его статьи (Мермин [1985]).

· #165

Более ранние результаты, принадлежавшие Фридману и Клаузеру [1972], основаны на идеях, высказанных Клаузером, Хорном, Шимони и Холтом [1969]. В этих экспериментах все еще имеется один спорный пункт в связи с тем, что используемые в экспериментах детекторы фотонов обладают КПД, существенно меньшим 100%, поэтому лишь сравнительно малая доля испущенных фотонов оказывается реально детектированной. Однако даже с такими детекторами согласие с квантовой теорией столь совершенно, что трудно понять, как повышение КПД детекторов способно внезапно ухудшить согласие с теорией!

· #166

Однако между отдельным фотоном и электромагнитным полем существует важное различие в типе допустимых решений уравнения. Классические максвелловские поля с необходимостью действительнозначные, тогда как состояния фотона комплекснозначные. К тому же фотон должен удовлетворять так называемому условию «положительной частоты».

· #167

Кажется, что квантовая теория поля дает некоторый простор для невычислимости. (См. Комар [1964].)

· #168

Некоторые «ревностные поборники» релятивизма могли бы предпочесть использовать световые конуса наблюдателей, а не их пространства одновременных событий. Однако, все сделанные нами заключения от этого не изменятся.

· #169

После первого просмотра напечатанного варианта мне вдруг пришло в голову, что оба человека должны были умереть задолго до этого. «Сопоставить свои наблюдения», в принципе, могли бы их отдаленные потомки (до которых вся информация о возникшем когда-то споре дошла бы, передаваясь из поколения в поколение).

· #170

В общем случае n, m вероятность равна

· #171

Используемый здесь логарифм называется натуральным, т. е. берется по основанию

е = 2,7182818285…,

а не по основанию 10, однако это различие в нашем случае совершенно несущественно. Натуральный логарифм, x =log n, числа n — это степень, в которую мы должны возвести е, чтобы получить n, т. е. решение уравнения e^x = n (см. ссылку 62).

· #172

Было бы, конечно, неверным утверждать, что наша точка фазового пространства вообще никогда не достигнет ни одной из предшествующих областей меньшего объема. Если мы подождем достаточно долго, точка может снова оказаться внутри одного из них, несмотря на его ничтожно малый объем (в соответствии с теоремой о возвращении Пуанкаре.) Однако, в подавляющем большинстве случаев, соответствующие масштабы времен будут чудовищно велики, порядка

лет, в случае газа, собравшегося в сантиметровом кубике в одном из углов ящика. Это на много порядков больше времени существования вселенной. Я не собираюсь обсуждать эту возможность в дальнейшем из-за ее практической нереализуемости.

· #173

Во внутризвездных процессах слияния легких ядер (например, водорода) в более тяжелые (например, гелий или в конечный продукт — железо) энтропия возрастает. По этой причине водород, присутствующий на Земле, часть которого мы можем, в конце концов, использовать путем его превращения в гелий на термоядерных станциях, содержит много «низкой энтропии». Возможность увеличения энтропии таким способом возникает только благодаря тому, что гравитация собрала ядра вместе, вдали от того гораздо большего числа фотонов, которые рассеялись по всему пространству и в настоящий момент образуют чернотельное фоновое излучение с температурой 2,7 К (см. гл.7 «Источник низкой энтропии во Вселенной»). Это излучение заключает в себе существенно большую энтропию, чем та, которая содержится в веществе звезд и, если бы было возможно собрать это излучение и поместить его обратно в вещество звезд, то оно разложило бы большую часть тяжелых ядер на составляющие их более легкие ядра! Следовательно, прирост энтропии в процессе термоядерного синтеза является «временным» и возможен только благодаря концентрирующему воздействию гравитации. Позднее мы увидим, что, хотя энтропия, порождаемая в процессе термоядерного синтеза, намного превосходит энтропию, возникающую в большей части различных гравитационных процессов, а энтропия чернотельного фонового излучения оказывается еще большей — все это справедливо только временно и локально. Гравитационные запасы энтропии оказываются неизмеримо более мощными и существенно превосходят как энтропию термоядерного синтеза, так и энтропию фонового излучения.

· #174

Недавние результаты исследований сверхглубоких скважин на территории Швеции можно интерпретировать как подтверждающие теорию Голда, но ситуация далеко неоднозначна и может иметь альтернативное истолкование в рамках общепринятых геологических концепций.

· #175

Я предполагаю здесь, что эта звезда относится к так называемому «типу II» сверхновых. Если бы это была сверхновая «типа I», мы могли бы опять вести рассуждения в терминах «временного» прироста энтропии, связанного с термоядерным синтезом (см. примечание 173). Вряд ли, однако, сверхновая «типа I» способна произвести много урана.

· #176

В настоящее время эта цифра уточняется. Современные оценки возраста Вселенной колеблются между 6 х 10⁹ и 1,5 х 10¹⁰ лет. В любом случае эти цифры намного превосходят те 10⁹лет, которые полагались в качестве оценки возраста Вселенной сразу после открытия ее расширения Эдвином Хабблом приблизительно в 1930 году.

· #177

Я отношу модели с нулевой и отрицательной пространственной кривизной к бесконечным моделям. Есть, однако, возможность некоторой «свертки» этих моделей, после которой они становятся пространственно конечными. Такое рассмотрение, которое вряд ли применимо к реальной вселенной, существенно не меняет ход нашего обсуждения, и поэтому я предлагаю не заострять здесь внимание на этом вопросе.

· #178

Эйнштейн ввел в теорию космологическую постоянную в 1917 году, но впоследствии, в 1931 году, отказался от нее, говоря о ней как о своей «самой большой ошибке».

· #179

Экспериментальные основания для такой уверенности заключаются, главным образом, в данных двух типов. Во-первых — это поведение частиц при их столкновениях друг с другом на различных скоростях: рассеяние, распад и рождение новых частиц. Эти процессы изучаются либо на ускорителях, построенных и размещенных в самых разных уголках Земли, либо с помощью космических лучей, бомбардирующих Землю из открытого космоса. Во-вторых, известно, что параметры, регулирующие взаимодействие частиц, не изменились даже на одну миллионную за 10¹⁰ лет (см. Барроу [1988]), так что, скорее всего, они существенно и не менялись (если менялись вообще) со времен первичного протошара.

· #180

В действительности, на этой конечной стадии карлик будет светиться как красная звезда, но то, что называют «красными карликами», относится к звездам совсем другого типа.

· #181

На самом деле, принцип Паули не запрещает электронам находиться в одном и том же месте, я запрещает им находиться лишь в одном и том же «состоянии», учитывающем их движение и вращение (спин). Применение этого принципа в рассматриваемом случае связано с определенными тонкостями, и в первое время расценивалось некоторыми (особенно Эддингтоном) как достаточно спорное.

· #182

Похожие соображения были высказаны уже в 1784 году английским астрономом Джоном Мичеллом и, немного позднее и независимо от него, Лапласом. Они пришли к выводу, что наиболее массивные и плотные тела во вселенной могут оказаться совершенно невидимыми — как и черные дыры — но их (поистине пророческие) выводы были сделаны на основе ньютоновской теории, в которой подобные заключения являются, в лучшем случае, спорными. Надлежащий общерелятивистский подход был разработан Робертом Оппенгеймером и Хартландом Снайдером [1939].

· #183

На самом деле, точное положение горизонта (в общем случае нестационарной) черной дыры не может быть установлено непосредственными измерениями. В частности, для его определения необходимо обладать информацией о том веществе, которое черная дыра поглотит в будущем!

· #184

Делая подобное утверждение, я неявно ввожу следующие два допущения. Первое заключается в том, что возможному полному окончательному исчезновению черной дыры — с учетом ее (чрезвычайно медленного) хокинговского радиационного «испарения», которое мы рассмотрим чуть позже (см.: глава 7 «Насколько особым был Большой взрыв?») — будет предшествовать окончательный коллапс вселенной; второе допущение — (весьма правдоподобное), известно под названием «космическая цензура» (см.: Глава 5. «Релятивистская причинность и детерминизм»).

· #185

Смотри изложение этого вопроса в работах Белинского, Халатникова и Лифшица [1970] и Пенроуза [1979].

· #186

Возникает искушение отождествить гравитационный вклад в энтропию системы с некоторой мерой вейлевской кривизны, но до сих пор ни одной подходящей меры не найдено. (Искомая мера, вообще говоря, должна была бы обладать нелокальными свойствами.) К счастью, в наших рассуждениях мы можем обойтись и без нее.

· #187

Существует популярная в настоящее время точка зрения, называемая «инфляционным сценарием», которая призвана объяснить, почему вселенная, помимо всего прочего, является однородной на очень больших масштабах. Согласно этой теории, вселенная на очень ранних стадиях испытала гигантское расширение — намного превосходящее по своим масштабам «обычное» расширение стандартного сценария. Идея заключается в том, что любые нерегулярности сглаживаются в результате такого расширения. Однако, инфляция не работает без наложения еще более жестких начальных ограничений, чем те, которые уже даются гипотезой о вейлевской кривизне. Она не вводит в теорию никакой асимметричной во времени составляющей, которая дала бы возможность объяснить различие между начальной и конечной сингулярностью. (Более того, она опирается на физические теории — теории великого объединения — чей статус не более, чем ПРОБНЫЙ, по терминологии главы 5. Для более подробного знакомства с критическим анализом «инфляции», в контексте идей, изложенных в этой главе, см. Пенроуз [19896].)

· #188

Это расстояние (10 ^-35м = ??Gc^-3) на котором так называемые «квантовые флуктуации» самой метрики пространства-времени становятся настолько большими, что обычное представление об однородном пространственно-временно?м континууме оказывается неприменимым. (Квантовые флуктуации являются следствием принципа неопределенности Гейзенберга — см. Глава 6. «Принцип неопределенности».)

· #189

Вот самые распространенные корректировки этого типа: (I) замена уравнений Эйнштейна РИЧЧИ = ЭНЕРГИЯ (используя лагранжианы более высоких порядков); (II) замена четырехмерного пространства-времени на пространство-время с бо?льшим числом измерений (как в случае так называемых «теорий Калуцы — Клейна»); (III) введение «суперсимметрии» (идея, заимствованная из квантового поведения бозонов и фермионов, сведенного в единую схему, и примененная, не совсем последовательно, к пространственно-временны?м координатам); (IV) теория струн (очень популярная сейчас теория, в которой «мировые линии» заменяются на «истории струн» — обычно в сочетании с идеями (II) и (III)). Все эти предложения, несмотря на их популярность, следует рассматривать как заведомо ПРОБНЫЕ согласно терминологии главы 5.

· #190

Хотя процедуры квантования не всегда сохраняют симметрию классической теории (см. Трейман [1985]; Аштекар и др. [1989]), здесь требуется нарушение всех четырех симметрии, обычно обозначаемых как Т, РТ, СТ и СРТ. Это (особенно нарушение СРТ симметрии) выходит за пределы возможностей обычных методов квантования.

· #191

Насколько я смог понять, именно такая точка зрения неявно содержится в выдвигаемых сейчас Хокингом предложениях по квантово-гравитационному объяснению рассматриваемых проблем (Хокинг [1987, 1988]). Гипотеза Хартли и Хокинга [1983] о квантово-гравитационной природе начального состояния, возможно, относится к тем гипотезам, что могут подвести теоретическую базу под начальное условия типа ВЕЙЛЬ = 0, но эти идеи пока что лишены чрезвычайно важного (по моему мнению) компонента, каким является асимметрия во времени.

· #192

Некоторые могут на это возразить (совершенно справедливо), что наблюдения не подтверждают однозначным образом мое утверждение о существовании во вселенной черных дыр и отсутствии белых. Но мой довод, в основном, теоретического характера. Черные дыры не противоречат второму началу термодинамики, а белые дыры противоречат! (Разумеется, можно просто постулировать второе начало термодинамики и отсутствие белых дыр, но мы хотим достичь более глубокого понимания сути вещей, происхождения второго начала термодинамики.)

· #193

Это станет несколько более понятным, если использовать операцию скалярного произведения (?|X) упомянутую в примечании 151 к главе 6. В случае описания вперед по времени вероятность р рассчитывается как:

Тождественность двух выражений следует из (?'|X') = (?|X), а это, в сущности, и подразумевается под «унитарной эволюцией».

· #194

Возможно, некоторым читателям сложно понять, что имеется в виду под вероятностью прошлого события при условии, что имело место определенное событие в будущем. Однако это совсем не сложно. Вообразите себе всю историю нашей вселенной, отображенной в пространстве-времени. Чтобы найти вероятность события р при условии, что произошло событие q, мысленно рассмотрим все случаи, когда имело место событие q, и сосчитаем, в какой доле этих случаев имело место также и событие р. Это и есть требуемая вероятность. При этом не важно, относится ли q к событиям, которые обычно происходят после события р, или до него.

· #195

Следует допустить, что это как раз и есть так называемые продольные гравитоны — «виртуальные» гравитоны, из которых состоит статическое гравитационное поле. К сожалению, четкое и «инвариантное» математическое определение таких объектов связано с определенными теоретическими трудностями.

· #196

Мои собственные первые грубые расчеты этой величины были очень существенно улучшены Абхеем Аштекаром, и здесь я привожу значение, определенное Аштекаром (см. Пенроуз [1987а]). Аштекар, однако, специально отметил, что многие из предположений довольно произвольны, и поэтому следует относиться к полученному значению массы весьма осторожно.

· #197

Время от времени в литературе появляются и другие попытки построения объективной теории редукции векторов состояний. Среди наиболее существенных следует отметить работы Каройхази [1974], Каройхази, Френкеля и Лукача [1986], Комара [1969], Перла [1985, 1989], Гирарди, Римини и Вебера [1986].

· #198

На протяжении нескольких лет я тоже пытался разрабатывать нелокальную теорию пространства-времени, побуждаемый к этому главным образом стимулами иного рода, исходящими из так называемой «теории твисторов» (см. Пенроуз, Риндлер [1986], Хаггетт, Тод [1985], Уорд, Уэллс [1990]). Однако этой теории в лучшем случае недостает ряда существенных ингредиентов, и обсуждение ее здесь представляется неуместным.

· #199

Из радиовещания ВВС (см. Ходжис [1983], с. 419).

· #200

Интересно, что для мозжечка не характерно «перекрестное» поведение коры головного мозга: правая половина мозжечка управляет, в основном, правой стороной тела, а левая — левой.

· #201

Речь идет о фильме Доктор Стрэнджлав, в котором Питер Сэллер играет нацистского врача — доктора Стрэнджлава, — эмигрировавшего в США и вынужденного все время останавливать левой рукой свою правую руку, которая самовольно вскидывается в нацистском приветствии. — Прим. ред.

· #202

О том, что, по крайней мере, шимпанзе обладают самосознанием, с убедительностью говорят результаты экспериментов, в ходе которых шимпанзе разрешалось играть с зеркалами (см. Окли [1985], главы 4 и 5).

· #203

Первые эксперименты такого рода были проведены на кошках (см. Мире, Сперри [1953]). За дальнейшими сведениями из области экспериментов с разделением полушарий мозга я отсылаю читателя к работам Сперри [1966], Газзаниги [1970] и Мак- Кей [1987].

· #204

Своего рода дополнительным к «зрению вслепую» может служить состояние, известное как «отрицание слепоты», при котором совершенно слепой человек настаивает на том, что он хорошо видит, и которое, повидимому, связано с визуальным осознанием информации об окружении, полученной при помощи других органов чувств! См. Черчланд [1984], с. 143.

· #205

Доступное изложение принципов действия зрительной коры можно найти у Хьюбела [1988].

· #206

См. Хьюбел [1988], с. 221. Ранние эксперименты позволили обнаружить клетки, чувствительные только к образу руки.

· #207

Общепринятая сегодня теория, согласно которой нервная система состоит из отдельных клеток — нейронов — была впервые предложена и убедительно обоснована великим испанским нейрофизиологом Рамоном-и-Кахалом около 1900 года.

· #208

На самом деле, любые логические элементы могут быть построены с помощью одних только операций «~» и «&» (или даже только одной-единственной операции ~ (А&В)).

· #209

Фактически, использование логических элементов в большей степени отвечает конструкции электронного компьютера, чем изложенные в главе 2 особенности конструкции машины Тьюринга. В главе 2 особое внимание подходу Тьюринга было уделено по теоретическим соображениям. Начало действительному развитию компьютерных технологий положили в равной степени работы Алана Тьюринга и выдающегося американского математика венгерского происхождения Джона фон Неймана.

· #210

Эти сравнения во многом обманчивы. Подавляющее большинство транзисторов в современных компьютерах используется в устройствах «памяти» и не участвует в логических операциях; а память можно наращивать за счет внешних устройств практически бесконечно. При более интенсивном использовании параллельных вычислений количество транзисторов, непосредственно участвующих в выполнении логических операций, могло бы быть значительно больше, чем это принято в настоящее время.

· #211

Дойч в своих описаниях предпочитает использовать подход «множественности миров» относительно квантовой теории. Однако важно понимать, что это совершенно не существенно, поскольку концепция квантового компьютера принципиально не зависит от точки зрения на традиционную квантовую механику.

· #212

Этот комментарий перестает быть правомерным, если мы рассматриваем в качестве «классических» компонентов системы шестеренки, оси и т. п. Я предполагаю, что система состоит из обычных (скажем, точечных или сферических) частиц.

· #213

По крайней мере, при наличии современных компьютерных технологий (см. обсуждение теста Тьюринга в главе 1).

· #214

Здесь можно упомянуть еще один непростой вопрос относительно того, могут ли два алгоритма рассматриваться как эквивалентные друг другу, если результаты их действий — но не сами вычисления! — являются тождественными. См. главу 2, «Универсальная машина Тьюринга».

· #215

Как мы видели в главе 4, «Теоремы геделевского типа как следствие результатов, полученных Тьюрингом»), проверка справедливости доказательства в формальной системе всегда имеет алгоритмический xaрактep. И наоборот, любой алгоритм, который позволяет получать математически истинные утверждения, всегда можно добавить в систему аксиом и правил вывода обычной логики («предикатного исчисления»), тем самым создавая новую формальную систему выведения математических истин.

· #216

Разумеется, «он» означает «она или он». См. сноску 22 к гл 1 «Тест Тьюринга».

· #217

Некоторых читателей может беспокоить тот факт, что в среде математиков действительно существуют различные точки зрения. Вспомним рассуждения, приведенные в главе 4. Однако имеющиеся разногласия не так важны для нас. Они относятся только к в высшей степени абстрактным вопросам, касающимся очень больших множеств, в то время как мы вполне можем ограничиться утверждениями арифметического характера (с конечным числом кванторов существования и всеобщности) и применить дальнейшие рассуждения. (Возможно, здесь допущено некоторое преувеличение, поскольку принцип рефлексии, относящийся к бесконечным множествам, может иногда использоваться для вывода утверждений в арифметике.) Что касается крайне догматичного и не желающего соглашаться с Геделем формалиста, для которого такая вещь, как математическая истина, вообще не существует, то я его буду просто-напросто игнорировать, поскольку он явно не обладает способностью интуитивного понимания истины, которой посвящены наши рассуждения! Конечно, математики иногда допускают ошибки. Кажется, сам Тьюринг считал, что именно это и есть «лазейка», которая позволяет обойти аргументы геделевского типа в пользу того, что человеческое мышление существенно неалгоритмично. Но лично мне кажется невероятным, что свойство людей ошибаться каким-либо образом связано с нашей способностью к прозрениям! (Между прочим, генераторы случайных чисел могут быть успешно реализованы при помоши алгоритмов.)

· #218

Термин «черная дыра» вошел во всеобщее употребление много позже, около 1968 года (главным образом благодаря пророческим идеям американского физика Джона А. Уилера).

· #219

Мне кажется, что потребность животных во сне, во время которого они иногда видят сны (как это бывает часто заметно у собак), может служить свидетельством того, что они, вполне вероятно, наделены сознанием. Ибо разница между сном без сновидений и сном со сновидениями, по-видимому, во многом определяется как раз наличием сознания.

· #220

В английском языке фраза Oh, I see! («О, я вижу!») по смыслу эквивалентна возгласу «О, я понимаю!». — Прим. ред.

· #221

В случае специальной или общей теории относительности под «временами» следует понимать «одновременные пространства» или «пространственно-подобные поверхности» (см. гл. 5 «Специальная теория относительности Эйнштейна и Пуанкаре» и гл.5 «Релятивистская причинность и детерминизм»).

· #222

Стоит отметить, что существует по меньшей мере один подход к квантовой теории гравитации, который, по-видимому, включает элемент невычислимости (Герох, Хартли [1986]).

· #223

Однако в случае пространственно-бесконечной вселенной есть затруднения, поскольку тогда возникает (как и в случае множественных миров) бесконечное количество копий наблюдателя и его непосредственного окружения! Будущее поведение каждой копии может несколько отличаться, и никто не в состоянии сказать наверняка, какой из приблизительных копий самого себя, смоделированных математическим путем, он мог бы на самом деле «быть»!

· #224

Даже в ходе реального роста некоторых кристаллов могут возникать подобные проблемы — например, там, где исходная клетка кристаллической решетки содержит несколько сот атомов (случай так называемых «фаз Фрэнка-Каспера»). С другой стороны, следует упомянуть, что теоретический «почти локальный» (хотя все же нелокальный) процесс роста квазикристаллов с осью пятого порядка был предложен Онодой, Стайнхардтом, Ди Винченцо и Соколаром [1988].

· #225

Эта симметрия между временем и пространством становится еще более удивительной в случае двумерного пространства-времени. Уравнения двумерной физики пространства-времени оказываются существенно симметричны относительно взаимозамены координат пространства и времени — однако, в двумерной физике никто не стал бы требовать от пространства, чтобы оно «текло». Трудно поверить, что «реальное течение» времени в нашем восприятии окружающего мира обусловлено разве что асимметрией между числом измерений пространства (3) и измерений времени (1), характерной для нашего пространства-времени.