Книга: Основы объектно-ориентированного программирования

Связывание с АТД

Класс, как неоднократно говорилось, является реализацией АТД, заданного формальной спецификацией или неявно подразумеваемого. В начале лекции отмечалось, что утверждения можно рассматривать, как способ введения в класс семантических свойств, лежащих в основе АТД. Давайте уточним наше понимание концепции утверждений, прояснив их связь с компонентами спецификации АТД.

Не просто коллекция функций

Как отмечалось в лекции про АТД, они включают четыре элемента:

[x]. имя типа, возможно с родовым параметром (раздел TYPES);

[x]. список функций с их сигнатурами (раздел FUNCTIONS);

[x]. аксиомы, выражающие свойства результатов функций (раздел AXIOMS);

[x]. ограничения применимости функций (раздел PRECONDITIONS).

При поверхностном применении АТД часто опускают две последние части. Во многом, это лишает данный подход привлекательности, поскольку предусловия и аксиомы выражают семантические свойства функций. Если их опустить и просто рассматривать стек как инкапсуляцию операций put, remove и других, то преимущества от скрытия информации останутся, но это все. Понятие стека становится пустой оболочкой без семантики, кроме той, что остается в именах функций. (В этой книге имена функций менее информативны по причине согласованности и повторного использования, - мы сознательно выбрали общие имена - put, remove, item, а не те, которые применяются обычно для стеков - push, pop, top).

Этот риск потери семантики переносится на программирование: программы, реализующие операции соответствующего АТД, в принципе могут выполнять нечто отличное от задуманного. Утверждения предотвращают этот риск, возвращая семантику классу.

Компоненты класса и АТД функции

Для понимания отношений между утверждениями и АТД необходимо, прежде всего, установить отношение между компонентами класса и их двойниками - АТД функциями. В свете прежних обсуждений функции подразделяются на три категории: создатели, запросы и команды. Возвращаясь назад, напомню, категория функции f

f : A ? B ? ... X

зависит от того, где имя АТД, скажем T, встречается среди типов A, B, ... X, включенных в эту сигнатуру:

[x]. Если Т появляется только справа от стрелки, f является создателем; в классе это соответствует процедуре создания.

[x]. Если Т появляется только слева от стрелки, f является запросом, обеспечивающим доступ к свойству экземпляра класса. Для класса запрос соответствует атрибуту или функции; термин запрос сохраняется и для класса, когда нет необходимости различать, как он реализован.

[x]. Если Т появляется как слева, так и справа от стрелки, f является командой, вырабатывающей новый объект из одного или нескольких уже существующих. На этапе реализации f часто задается процедурой (также называемой командой), которая модифицирует существующий объект, не создавая новый, как это делают функции.

Выражение аксиом

Из соответствия между АТД функциями и компонентами класса можно вывести соответствие между утверждениями класса и семантическими свойствами АТД.

[x]. Предусловие для специфицированной в АТД функции появляется как предусловие программы, соответствующей данной функции.

[x]. Аксиома, включающая команду, и, возможно, одну или более функций запросов, появится как постусловие соответствующей процедуры.

[x]. Аксиомы, включающие только запросы, появятся как постусловия соответствующих функций или как инвариант. Последнее обычно имеет место, если более чем одна функция включена в аксиому, или, по меньшей мере, один из запросов реализован в виде атрибута.

[x]. Аксиомы, включающие функцию создатель, появятся в постусловии соответствующей процедуры создания.

В этот момент следует вернуться назад и сравнить аксиомы АТД STACK с утверждениями класса STACK4 (включая и те, которые даны для класса STACK2).

Функция абстракции

Этот раздел требует от читателя определенной математической подготовки.

Полезно рассмотреть предшествующее обсуждение в терминах следующего рисунка, навеянного работой [Hoare 1972a], в которой описывается понятие "С является корректной реализацией А".

Рис. 11.5.  Преобразования между абстрактными и конкретными объектами

Здесь А - АТД, С - класс, его реализующий. Абстрактной функции af из спецификации АТД соответствует в классе конкретная функция cf. Для простоты, полагаем, что абстрактная функция af из A возвращает результат того же типа А.

Стрелка, помеченная а, представляет функцию абстракции (abstraction function), которая для любого экземпляра класса - конкретного объекта - возвращает соответствующий абстрактный объект (экземпляр АТД). Как будет видно, функция обычно бывает частичной, а обратное отношение обычно не является функцией.

Реализация корректна, если (для всех функций af из АТД и их реализаций cf) диаграмма коммутативна, или, как говорят, имеет место:

Свойство согласованности Класс-АТД

(cf;a) = (a;af)

где символ ";" обозначает композицию функций. Другими словами, для любых двух функций f и g, их композиция: f;g задает функцию h, такую что h(x) = g(f(x)) для каждого применимого x.

(Композицию f;g также записывают в виде: g ° f, с обратным порядком применения операндов.)

Свойство устанавливает, что для каждого конкретного объекта CONC_1 не имеет значения, в каком порядке применяются преобразования (функция абстракции, а затем af или вначале cf, а потом функция абстракции); оба пути, помеченные на рисунке штрихованными линиями, ведут к одному и тому же значению - абстрактному объекту ABST_2. Результат будет одним и тем же, если:

[x]. Применить конкретную функцию класса cf, а потом функцию абстракции а, получив a(cf(CONC_1)).

[x]. Применить функцию абстракции а, а потом функцию АТД - af, получив af(a(CONC_1)).

Инварианты реализации

Некоторые утверждения появляются в реализации, хотя они не имеют прямых двойников в спецификации АТД. Эти утверждения используют атрибуты, включая некоторые закрытые атрибуты, которые, по определению, не имеют смысла в АТД. Простым примером являются свойства, появляющиеся в инварианте STACK4:

count_non_negative: 0 <= count
count_bounded: count <= capacity

Такие утверждения составляют часть инварианта класса, известную как инвариант реализации (implementation invariant). Они позволяют задать соответствие представления реализации, выбранное в классе, (здесь это атрибуты count, capacity, representation) - визави соответствующего АТД.

Рис. 11.5 помогает понять концепцию инварианта реализации. Он иллюстрирует характеристические свойства функции абстракции, представленной вертикальной стрелкой на рисунке. Об этом стоит поговорить подробнее.

Прежде всего, корректно ли рассматривать а, как функцию? Напомним, что функция (тотальная или частичная) отображает каждый элемент исходного множества ровно в один элемент целевого множества, в противоположность общему случаю отношения, не имеющего такого ограничения. Рассмотрим обратное преобразование (сверху - вниз) от абстрактного объекта к конкретному. Будем называть его отношением представления (representation relation); как правило, это отношение не является функцией, так как существует множество представлений одного и того же абстрактного объекта. В реализации стека массивом, где каждый стек задан парой <representation, count>, абстрактный стек имеет много различных представлений, иллюстрируемых следующим рис. 11.6. Все они имеют одно и то же значение count и одинаковые элементы массива representation для всех индексов в пределах от 1 до count, но размер массивов - capacity - может быть любым значением, большим или равным count; элементы массива с индексом, большим count могут содержать произвольные значения.

Так как интерфейс класса ограничен компонентами, непосредственно выводимыми из функций АТД, клиенты не имеют способа различать поведение конкретных объектов, представляющих один и тот же абстрактный стек (это и есть причина, по которой все они имеют одну функцию абстракции a). Заметьте, в частности, что процедура remove из STACK4 выполняет свою работу, просто изменяя count

count := count - 1

не пытаясь очистить выше расположенные элементы. Всякое изменение элементов, расположенных выше count, будет модифицировать конкретный стек CS, не оказывая никакого влияния на ассоциированный абстрактный стек a(CS).

Итак, отношение реализации это обычно не функция. Но инверсия этого отношения - функция абстракции - действительно является функцией, так как каждому конкретному объекту ставится в соответствие один абстрактный объект. В примере стека каждой правильной паре <representation, count> соответствует в точности один абстрактный стек. У него count элементов, растет снизу вверх, элементы representation имеют индексы в пределах от 1 до count.

Рис. 11.6.  Один абстрактный объект и два его представления

Оба конкретных стека, изображенные на рисунке, являются реализациями абстрактного стека, состоящего из трех элементов со значениями: 342, -133, 5. Отображение а должно быть функцией, иначе конкретный объект мог быть интерпретирован как реализация двух или более различных абстракций. В этом случае выбранная реализация двусмысленна и, следовательно, неадекватна. Поэтому стрелка, ассоциированная с а, правильно отображает существующую функциональную зависимость между абстрактными и конкретными типами. (Обсуждение наследования будет делаться при тех же предположениях).

Функция абстракции а обычно представима частичной функцией: не для каждого возможного конкретного объекта существует правильное представление абстрактного объекта. Например, не каждая пара <representation, count> является правильным представлением абстрактного стека. Если representation является массивом емкости 3 и count = 4, то они совместно не представляют абстрактный стек. Правильные представления (члены, входящие в область определения функции абстракции), - только те пары, для которых count находится между 0 и размерностью массива. Это свойство является инвариантом реализации.

В математических терминах, инвариант реализации является характеристической функцией области определения абстрактной функции. Другими словами, это булево свойство, определяющее применимость функции. (Характеристическая функция подмножества А задает булево свойство, истинное на А и ложное всюду вне его.)

Инвариант реализации является той частью утверждений класса, у которой нет двойника в спецификации АТД. Он не связан с АТД, и относится только к реализации. Он определяет, при каких условиях кандидат - конкретный объект - действительно является реализацией одного и только одного абстрактного объекта.

Оглавление книги