Книга: Программирование на языке Пролог для искусственного интеллекта

13.3. Базовые процедуры поиска в И/ИЛИ-графах

13.3. Базовые процедуры поиска в И/ИЛИ-графах

В этом разделе нас будет интересовать какое-нибудь решение задачи независимо от его стоимости, поэтому проигнорируем пока стоимости связей или вершин И/ИЛИ-графа. Простейший способ организовать поиск в И/ИЛИ-графах средствами Пролога — это использовать переборный механизм, заложенный в самой пролог-системе. Оказывается, что это очень просто сделать, потому что процедурный смысл Пролога это и есть не что иное, как поиск в И/ИЛИ-графе. Например, И/ИЛИ-граф рис. 13.4 (без учета стоимостей дуг) можно описать при помощи следующих предложений:

а :- b.    % а - ИЛИ-вершина с двумя преемниками
а :- с.    % b и  с
b :- d, e. % b - И-вершина с двумя преемниками d и e
с :- h.
с :- f, g.
f :- h, i.
d. g. h.   % d, g и h - целевые вершины

Для того, чтобы узнать, имеет ли эта задача решение, нужно просто спросить:

?- а.

Получив этот вопрос, пролог-система произведет поиск в глубину в дереве рис. 13.4 и после того, как пройдет через все вершины подграфа, соответствующего решающему дереву рис. 13.4(b), ответит "да".

Преимущество такого метода программирования И/ИЛИ-поиска состоит в его простоте. Но есть и недостатки:

• Мы получаем ответ "да" или "нет", но не получаем решающее дерево. Можно было бы восстановить решающее дерево при помощи трассировки программы, но такой способ неудобен, да его и недостаточно, если мы хотим иметь возможность явно обратиться к решающему дереву как к объекту программы.

• В эту программу трудно вносить добавления, связанные с обработкой стоимостей.

• Если наш И/ИЛИ-граф — это граф общего вида, содержащий циклы, то пролог-система, следуя стратегии в глубину, может войти в бесконечный рекурсивный цикл.

Попробуем постепенно исправить эти недостатки. Сначала определим нашу собственную процедуру поиска в глубину для И/ИЛИ-графов.

Прежде всего мы должны изменить представление И/ИЛИ-графов. С этой целью введём бинарное отношение, изображаемое инфиксным оператором '--->'. Например, вершина а с двумя ИЛИ-преемниками будет представлена предложением

а ---> или : [b, с].

Оба символа '--->' и ':' — инфиксные операторы, которые можно определить как

:- op( 600, xfx, --->).
:- op( 500, xfx, :).

Весь И/ИЛИ-граф рис. 13.4 теперь можно задать при помощи множества предложений

а ---> или : [b, с].
b ---> и : [d, e].
с ---> и : [f, g].
e ---> или : [h].
f ---> или : [h, i].
цель( d). цель( g). цель( h).

Процедуру поиска в глубину в И/ИЛИ-графах можно построить, базируясь на следующих принципах:

Для того, чтобы решить задачу вершины В, необходимо придерживаться приведенных ниже правил:

(1) Если  В — целевая вершина, то задача решается тривиальным образом.

(2) Если вершина В имеет ИЛИ-преемников, то нужно решить одну из соответствующих задач-преемников (пробовать решать их одну за другой, пока не будет найдена задача, имеющая решение).

(3) Если вершина В имеет И-преемников, то нужно решить все соответствующие задачи (пробовать решать их одну за другой, пока они не будут решены все).

Если применение этих правил не приводит к решению, считать, что задача не может быть решена.

Соответствующая программа выглядит так:

решить( Верш) :-
 цель( Верш).
решить( Верш) :-
 Верш ---> или : Вершины, % Верш - ИЛИ-вершина
 принадлежит( Верш1, Вершины),
  % Выбор преемника  Верш1  вершины  Верш
 решить( Bepш1).
решить( Верш) :-
 Верш ---> и : Вершины,   % Верш - И-вершина
 решитьвсе( Вершины).
  % Решить все задачи-преемники
решитьвсе( []).
решитьвсе( [Верш | Вершины]) :-
 решить( Верш),
 решитьвсе( Вершины).

Здесь принадлежит — обычное отношение принадлежности к списку.

Эта программа все еще имеет недостатки:

• она не порождает решающее дерево, и

• она может зацикливаться, если И/ИЛИ-граф имеет соответствующую структуру (циклы).

Программу нетрудно изменить с тем, чтобы она порождала решающее дерево. Необходимо так подправить отношение решить, чтобы оно имело два аргумента:

решить( Верш, РешДер).

Решающее дерево представим следующим образом. Мы имеем три случая:

(1) Если Верш — целевая вершина, то соответствующее решающее дерево и есть сама эта вершина.

(2) Если Верш — ИЛИ-вершина, то решающее дерево имеет вид

Верш ---> Поддерево

где Поддерево — это решающее дерево для одного из преемников вершины Верш.

(3) Если Верш — И-вершина, то решающее дерево имеет вид

Верш ---> и : Поддеревья

где Поддеревья — список решающих деревьев для всех преемников вершины Верш.

% Поиск в глубину для И/ИЛИ-графов
% Процедура решить( Верш, РешДер) находит решающее дерево для
% некоторой вершины в И / ИЛИ-графе
решить( Верш, Верш) :-    % Решающее дерево для целевой
 цель( Верш).             % вершины - это сама вершина
решить( Верш, Верш ---> Дер) :-
 Верш ---> или : Вершины, % Верш - ИЛИ-вершина
 принадлежит( Верш1, Вершины),
  % Выбор преемника  Верш1  вершины  Верш
 решить( Bepш1, Дер).
решить( Верш, Верш ---> и : Деревья) :-
 Верш ---> и : Вершины,   % Верш - И-вершина
 решитьвсе( Вершины, Деревья).
  % Решить все задачи-преемники
решитьвсе( [], []).
решитьвсе( [Верш | Вершины], [Дер | Деревья]) :-
 решить( Верш, Дер),
 решитьвсе( Вершины, Деревья).
отобр( Дер) :-            % Отобразить решающее дерево
 отобр( Дер, 0), !.       % с отступом 0
отобр( Верш ---> Дер, H) :-
  % Отобразить решающее дерево с отступом H
 write( Верш), write( '--->'),
 H1 is H + 7,
 отобр( Дер, H1), !.
отобр( и : [Д], H) :-
  % Отобразить И-список решающих деревьев
 отобр( Д, H).
отобр( и : [Д | ДД], H) :-
  % Отобразить И-список решающих деревьев
 отобр( Д, H),
 tab( H),
 отобр( и : ДД, H), !.
отобр( Верш, H) :-
 write( Верш), nl.

Рис. 13.8. Поиск в глубину для И/ИЛИ-графов. Эта программа может зацикливаться. Процедура решить находит решающее дерево, а процедура отобр показывает его пользователю. В процедуре отобр предполагается, что на вывод вершины тратится только один символ.

Например, при поиске в И/ИЛИ-графе рис. 13.4 первое найденное решение задачи, соответствующей самой верхней вершине а, будет иметь следующее представление:

а ---> b ---> и : [d, c ---> h]

Три формы представления решающего дерева соответствуют трем предложениям отношения решить. Поэтому все, что нам нужно сделать для изменения нашей исходной программы решить, — это подправить каждое из этих трех предложений, просто добавив в каждое из них решающее дерево в качестве второго аргумента. Измененная программа показана на рис. 13.8. В нее также введена дополнительная процедура отобр для отображения решающих деревьев в текстовой форме. Например, решающее дерево рис. 13.4 будет отпечатано процедурой отобр в следующем виде:

а ---> b ---> d
              e ---> h

Программа рис. 13.8 все еще сохраняет склонность к вхождению в бесконечные циклы. Один из простых способов избежать бесконечных циклов — это следить за текущей глубиной поиска и не давать программе заходить за пределы некоторого ограничения по глубине. Это можно сделать, введя в отношение решить еще один аргумент:

решить( Верш, РешДер, МаксГлуб)

Как и раньше, вершиной Верш представлена решаемая задача, а РешДер — это решение этой задачи, имеющее глубину, не превосходящую МаксГлуб. МаксГлуб — это допустимая глубина поиска в графе. Если МаксГлуб = 0, то двигаться дальше запрещено, если же МаксГлуб > 0, то поиск распространяется на преемников вершины Верш, причем для них устанавливается меньший предел по глубине, равный МаксГлуб-1. Это дополнение легко ввести в программу рис. 13.8. Например, второе предложение процедуры решить примет вид:

решить( Верш, Верш ---> Дер, МаксГлуб) :-
 МаксГлуб > 0,
 Верш ---> или : Вершины, % Верш - ИЛИ-вершина
 принадлежит ( Верш1, Вершины),
  % Выбор преемника  Верш1  вершины  Верш
 Глуб1 is МаксГлуб - 1,   % Новый предел по глубине
 решить( Bepш1, Дер, Глуб1).
  % Решить задачу-преемник с меньшим ограничением

Нашу процедуру поиска в глубину с ограничением можно также использовать для имитации поиска в ширину. Идея состоит в следующем: многократно повторять поиск в глубину каждый раз все с большим значением ограничения до тех пор, пока решение не будет найдено, То есть попробовать решить задачу с ограничением по глубине, равным 0, затем — с ограничением 1, затем — 2 и т.д. Получаем следующую программу:

имитация_в_ширину( Верш, РешДер) :-
 проба_в_глубину( Верш, РешДер, 0).
  % Проба поиска с возрастающим ограничением, начиная с 0
проба_в_глубину( Верш, РешДер, Глуб) :-
 решить( Верш, РешДер, Глуб);
 Глуб1 is Глуб + 1, % Новый предел по глубине
 проба_в_глубину( Верш, РешДер, Глуб1).
  % Попытка с новым ограничением

Недостатком имитации поиска в ширину является то, что при каждом увеличении предела по глубине программа повторно просматривает верхнюю область пространства поиска.

13.1. Закончите составление программы поиска в глубину (с ограничением) для И/ИЛИ-графов, намеченную в настоящем разделе.

13.2. Определите на Прологе И/ИЛИ-пространство для задачи "ханойская башня" и примените к нему процедуры поиска настоящего раздела.

13.3. Рассмотрите какую-нибудь простую детерминированную игру двух лиц с полной информацией и дайте определение ее И/ИЛИ-представления. Используйте программу поиска в И/ИЛИ-графах для построения выигрывающих стратегий в форме И/ИЛИ-деревьев.

Оглавление книги