Книга: Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi

Скошенные деревья

Скошенные деревья

Как бы то ни было, ознакомившись с этими операциями простых и спаренных двухсторонних и односторонних поворотов, мы может их использовать в структуре данных, называемой скошенным деревом. Скошенное дерево (splay tree) - это дерево бинарного поиска, сконструированное таким образом, что любое обращение к узлу приводит к его скосу в сторону корневого узла. Скос заключается в применении операций спаренного двустороннего или одностороннего поворота до тех пор, пока скашиваемый узел не окажется в позиции корневого узла дерева или на один уровень ниже него. В последнем случае его ранг можно повысить до корневого узла, выполнив одиночный поворот. Концепция скошенного дерева была изобретена Д. Д. Слеатором (D. D. Sleator) и Р. Е. Таръяном (R. E. Tarjan) в 1985 году [22].

Вначале рассмотрим операцию поиска, т.е. нахождение конкретного узла. Мы начнем с применения стандартного алгоритма поиска в дереве бинарного поиска. Обнаружив искомый узел, мы выполняем его скос к корневому узлу.

Иначе говоря, мы применяем операции спаренного двустороннего либо одностороннего поворота, перемещая узел вверх по дереву до тех пор, пока он не достигнет позиции корневого узла. Если в результате этих операций узел оказывается на втором уровне, мы больше не можем применять операции спаренного поворота, и поэтому для перемещения в позицию корневого узла применяем поворот влево или вправо.

Если поиск был безрезультатным, в ходе него мы должны натолкнуться на нулевой узел. В этом случае мы выполняем скос узла, который был бы родительским узлом, если бы искомый узел существовал. Естественно, при этом следовало бы сообщить о невозможности как-либо найти элемент.

Вставку также легко описать: необходимо применить обычный алгоритм вставки в дерево бинарного поиска, а затем выполнить скос добавленного узла.

Чтобы выполнить удаление, мы выполняем обычное удаление из дерева бинарного поиска, а затем выполняем скос родительского узла того узла, который был удален.

Обобщая, можно сказать, что скошенное дерево предоставляет нам самоизменяющуюся структуру — структуру, характеризующуюся тенденцией хранить узлы, к которым часто происходит обращение, вблизи верхушки дерева, в то время как узлы, к которым обращение происходит редко, перемещаются по направлению к листьям. В общем случае время обращения к часто посещаемым узлам будет меньше, а время обращения к редко посещаемым узлам — больше среднего. Важно отметить, что скошенное дерево не обладает никакими явными функциями балансировки, но практика свидетельствует, что скос способствует достаточно успешному поддержанию дерева в сбалансированном состоянии. В среднем время поиска в скошенном дереве пропорционально O(log(n)).

Оглавление книги